Квантование движения электрона в постоянном и однородном магнитном поле

ЛЕКЦИЯ 31

КВАНТОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА В ПОСТОЯННОМ И ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Дипольное приближение, рассмотренное в предыдущей лекции, эквивалентно полному пренебрежению магнитной компонентой электромагнитного поля. Это естественно, поскольку в электромагнитной волне напряженности ** и ** являются величинами одного порядка (в свободном пространстве они точно равны друг другу), а отношение магнитной силы ***, действующей на электрон, к электрической *** дает релятивистскую малость ***, где *** -- характерная атомная скорость электрона. Поэтому пренебрегая релятивистскими эффектами, мы обязаны пренебречь **.

Для постоянных магнитных и электрических полей соотношение между

** и ** становится произвольным, и в частности ** может быть пренебрежимо мало по сравнению с **. Мы рассмотрим этот случай с точки зрения тех особенностей в поведении электрона, которые обусловлены законами квантовой механики.

Будем считать магнитное поле постоянным и однородным. Согласно классической механике частица с зарядом * и массой *, не обладающая составляющей скорости вдоль направления *, будет двигаться в магнитном поле по окружности с постоянной скоростью *

и круговой частотой *** (частота Лармора). Радиус этой окружности равен *** (ларморовский радиус). Таким образом, в плоскости, поперечной магнитному полю, частица оказывается локализованной в области с линейным размером **. Квантовый характер ее движения проявится в том случае, если произведение радиуса локализации на импульс частицы, т.е. величина ***, имеющая размерность действия, окажется порядка **:

(31.1)

Для электрона в свободном пространстве (***) это будет иметь место при полях

(31.2)

Столь большое магнитное поле может встретиться только в астрофизических проблемах. Экспериментально достижимые поля значительно меньше этой величины. В импульсном режиме можно возбудить поле ** гаусс, а в стационарном режиме ** гаусс. Поэтому квантование движения электрона магнитным полем в лабораторных условиях можно наблюдать лишь в полупроводниках с малой эффективной массой свободных носителей заряда. Так, если ***, то пороговое значение магнитного поля, согласно (31.2), уменьшается на четыре порядка и становится вполне экспериментально достижимым.

1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Постоянное однородное магнитное поле мы можем рассматривать как частный случай электромагнитного поля (**, **) и описывать его потенциалами **, ***. Векторный потенциал должен удовлетворять условию

(31.3)

Классическая функция Гамильтона для электрона будет при этом иметь вид:

(31.4)

Отсюда получаем выражение для гамильтониана

(31.5)

из которого следует, что конкретный вид уравнения Шредингера

(31.6)

зависит от выбора векторного потенциала **.

Из электродинамики известно, что этот выбор может быть сделан по-разному, поскольку векторный потенциал допускает калибровочное преобразование

(31.7)

где * -- произвольная скалярная функция от **. Сделаем этот выбор так, чтобы прийти к наиболее просто решаемому диффиренциальному уравнению (31.6).

Как легко убедиться, условие (31.3) удовлетворяется, если положить

(31.8)

Совмещая ось * с направлением магнитного поля, мы будем иметь

***

и тогда из (31.8) получим

(31.9)

Из формулы (31.6), а также из (31.9) видно, что коэффициенты уравнения Шредингера будут зависеть от двух координат, от * и от

*. Удобней перейти к уравнению, где останется зависимость только от одной координаты. Это легко сделать с помощью калибровочного преобразования (31.7). Так, например, для исключения зависимости от * достаточно положить

(31.10)

Тогда

(31.11)

Как следует отметить, неоднозначность выбора потенциала в уравнении Шредингера означает, что и волновая функция * определяется неоднозначно. Переходя от векторного потенциала * и **, мы одновременно совершаем переход от уравнения для функции * к уравнению для ***. Эта неоднозначность выбора *-функции не сказывается при вычислении любой из величины, имеющих физический смысл. Квантовая механика, так же как и электродинамика, является калибровочно-инвариантной.

Итак, выберем векторный потенциал в виде:

***

При таком выборе уравнение Шредингера (31.6) приобретает форму

(31.12)

Нетрудно видеть, что гамильтониан этого уравнения коммутирует с операторами ** и **, поэтому соответствующие им проекции импульса сохраняются, и решение уравнения (31.12) можно искать в виде:

(31.13)

Подставляя этот вид решения в (31.12), получим уравнение на функцию

(31.14)

Придадим ему несколько иную форму:

(31.15)

Здесь введены обозначения

(31.16)

2. Энергетический спектр и волновые функции электрона в магнитном поле

Сопоставим уравнение (31.15) с уже известным нам уравнением для линейного гармонического осциллятора (см. формулу (12.5))

(31.17)

Мы видим, что оба уравнения фактически совпадают. Если во втором из уравнений произвести переобразования

(31.18)