Электромагнитные колебания. Формула свободных затухающих ЭМ колебаний

Электромагнитные колебания.

Колебания- это периодический процесс, при котором система много раз проходит через положение равновесия.

Отклонение системы от положения равновесия называется смещение. Максимальное смещение называется амплитуда. Время одного полного колебания называется период  [с]. Число колебаний за секунду называется частота [с^-1= Герц= Гц].                                , ν –ч астота, Т – период.

Фаза колебания φ – отклонение от равновесия, выраженное в угловой мере или долях периода (один период соответствует углу 2π). Фазу в начальный момент времени (t = 0) называют начальной фазой  φ₀.

Колебания делятся на свободные и вынужденные. Свободные колебания происходят под действием внутренних сил (причин) системы с частотой, которая зависит от параметров (характеристик) системы. Вынужденные колебания происходят под действием внешней периодической силы. Частота вынужденных колебаний равна частоте внешней вынуждающей силы.

Электромагнитные колебания (ЭМК) – это колебания заряда, напряжения, энергии в колебательном контуре, состоящем из конденсатора С, индуктивности L и резистора (сопротивления) R. Конденсатор, заряженный до заряда q₀  и напряжения U₀ , разряжается через L, в которой возникает ЭДС самоиндукции  , которая задерживает изменение тока, пэтому конденсатор перезаряжается и процесс (ток) идет в обратную сторону.

Диф. уравнение свободных колебаний.

По закону Кирхгофа ЭДС, действующая в эл. цепи, равна сумме напряжений в этой цепи. В колебательном контуре

   U_R =I· R    U_{C  =},     I· R + = 0, но I= , разделим выражение на L,  (1)    Это дифференциальное уравнение затухающих свободных колебаний II порядка. 

Обозначим   

,

β –называется коэффициент затухания. ω₀ – собственная циклическая (круговая) частота свободных колебаний.

Если контур имеет R (реальный контур), то на нем происходит переход энергии колебаний в тепло, т. е. потеря энергии. Такие колебания называются свободными затухающими колебаниями.

Если в контуре R=0, то потери энергии колебаний нет. Энергия постоянна. Такие колебания называются свободными незатухающими колебаниями. Для них диф. уравнение легко получить, положив R=0.

-             =0    I =

        (2)

Решение этого уравнения  q= q₀ sin (ω₀ t φ₀) или  q₀ cos (ω₀ t φ₀)

Формула свободных затухающих ЭМ колебаний

Решение уравнения (1)

q= q_maх е ^–βt  sin (ω_зt φ₀)    или q= q_mах е ^–βt  cos (ω_зt φ₀) 

ω_з = 

q _mах  - начальная, максимальная амплитуда колебаний.

Свободные незатухающие электромагнитные колебания.

Формула таких колебаний для заряда q= q₀ sin (ω₀ t φ₀)

q – заряд конденсатора в момент t.

q ₀ – амплитуда заряда.

ω₀ – собственная круговая частота   (с^-1)      =2πν

φ₀ –начальная фаза колебаний.

Напряжение на конденсаторе , поэтому  U= U₀ sin (ω₀ t φ₀)

Ток в контуре   I = q^' = (q₀ sin (ω₀ t +φ₀)) ^! 

I = q ₀ ω₀ cos (ω₀ t +φ₀) 

q ₀ ω₀  = I₀ – амплитуда тока в контуре.

Энергия колебаний равна сумме энергии электрического поля, заключенного в конденсаторе, и энергии магнитного поля,заключенного в катушке индуктивности

w = w_эп + w_мп.

Между W_эп и  W _мп имеется сдвиг фаз   , т.е. если W_эп = мах, то  W_мп = 0 и наоборот. Поэтому полная энергия колебаний  

W =(W_эп )_мах = (W_мп )_мах        

Для незтухающих колебаний W= const, следовательно амплитуда таких колебаний равна const.

Свободные затухающие колебания

Формула таких колебаний

q = q _max e ^–βt sin (ω _з t + φ ₀)   

Имеет две функции

a) q _max e ^–βt – это функция изменения амплитуды колебаний со временем б). sin (ω _з t + φ ₀)  -1 это функция изменения смещения со временем.

q ₀ = q _max e ^–βt         

Чтобы определить смысл коэффициента затухания β , приравняем β = , тогда q ₀ = q _m e ^–1 = , т.е.β -  величина, обратная времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,73…) . Следовательно коэффициент затухания определяет скорость затухания: чем  больше, тем быстрее уменьшается амплитуда.

Скорость затухания определяет также декремент. Это отношение двух амплитуд, разделенных периодом

t₂ = t₁ +T

Часто используют логарифмический декремент

Λ= ln=lne ^βT = βT

Полная энергия колебаний   W =  ,т. е. она уменьшается со временем.

Вынужденные колебания.

Уравнение вынужденных колебаний

, где       Внешняя периодическая сила (напряжение) действующая с вынуждающей круговой частотой  ω_в. Вынужденные колебания происходят по формуле  q = q₀ sin(ω_в t+ Q), где ω_в -частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы. Q- разность фаз между вынужденными колебаниями и вынуждающей силой.

q₀  -       

Амплитуда вынужденных колебаний, которая зависит от соотношения частоты вынужденных колебаний ω_в и собственной частоты свободных колебаний ω_з колебаний

Когда частота вынужденных колебаний и собственная частота сильно различаются, амплитуда мала. При сближении частот амплитуда значительно возрастает, достигая максимума. При некоторой частоте, которая называется резонансной частотой.

ω_{рез =}      ,если β <<ω₀, то ω_рез ≈ ω_0.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний  при приближении частоты вынужденны колебаний к резонансной частоте называется резонансом.

Сложение колебаний

1. Сложение колебаний одинаковых частот, направленных по одной  прямой. X₁ = X₀₁ sin(ωt+φ₀₁)          X₂ = X₀₂ sin(ωt+φ₀₂)

X = X₀₁ sin(ωt+φ₀₁) +  X₀₂ sin(ωt+φ₀₂) = X_0p sin(ωt+φ_0p)

X_0p - амплитуда результирующего колебания

Φ_0p - начальная фаза результирующего колебания

Можно показать, что X_0p=

(под знаком корня квадратного выражение полностью) а) Если где к = 0,1,2,3…., то cos (φ₀₁ – φ₀₂) =1 и

Х_0р= Х₀₁+Х₀₂.

б)    Если      (φ₀₁ – φ₀₂) = (2к+1)π , то cos (φ₀₁ – φ₀₂) = -1 и

Х_0р= Х₀₁-Х₀₂.

2 tg φ_0р =

2. Сложение колебаний, направленных по одной прямой с разными частотами.

X₁ =X₀₁sin (ω₁t +φ₀₁),  X₂ =X₀₂sin (ω₂t +φ₀₂)

X _р = X₀₁sin (ω₁t +φ₀₁) +X₀₂ sin (ω₂t +φ₀₂), для простоты Х₀₁ = Х₀₂ = Х₀

φ₀₁ = φ₀₂ = 0, ω₁ ≈ ω₂

Х_р = Х₀ [sinω₁t + sinω₂t]           [sinsinβ = 2sin cos ]    

X _p= 2X₀sin

Результирующие колебания происходят с частотой ω _{средняя}, а амплитуда этих колебаний меняется с малой частотой  .     Такие колебания называются биения (модулированные колебания)

3. Сложения перпендикулярных колебаний.

Х = Х₀ sin (ω₁t + φ₀₁)                Y = Y₀ sin(ω₂t + φ₀₂)

Для простоты ω₁= ω₂ = ω

Х + Y= Х₀₁ sin (ωt + φ₀₁) +Y₀ sin(ωt + φ₀₂)

Точка, которая должна одновременно колебаться по оси Х и оси Y, будет двигаться по траектории эллипс, формула которого

Разложение сложных колебаний.

Простое или гармоническое колебание описывается функцией sin или cos. Сложные колебания, не гармонические, не всегда можно описать одной функцией,но если сложное колебание периодическое, то его можно представить как сумму простых гармонических колебаний.

Теорема Фурье: любое сложное периодическое колебание можно разложить на сумму простых гармонических колебаний, частоты которых кратны частоте сложного колебания:

, где к= 0, 1, 2, 3 …. Или

= A₁ sin(ω₁t +φ₁) + A₂ sin(ω₂t +φ₂) +            A₃ sin(ω₃t +φ₃)+….

Каждый член этой суммы называется  к-гармоникой. Частота к-гармоники в к-раз больше частоты сложного колебания.

ω_{к =} к ω = кω₁              

Совокупность всех гармоник, на которые разлагаются данное сложное колебание, называется гармоническим спектром данного колебания. Очевидно этот спектр линейчатый или дискретный.