Концентрация электронов и дырок в кремнии в состоянии термодинамического равновесия после легирования его атомами сурьмы

1 Постановка задачи

Определить концентрацию электронов и дырок в кремнии в состоянии термодинамического равновесия после легирования его атомами сурьмы с концентрацией  м^-3 . Определить концентрацию носителей после легирования атомами бора с концетрацией  м^-3 при Т=300К.

2 Краткие теоретические сведения

Концентрация свободных электронов в зоне проводимости невырожденного примесного полупроводника определяется  выражением:

,                                                  (1)

где - энергия уровня Ферми,

 - энергия дна зоны проводимости,

 - эффективная плотность квантовых состояний в зоне проводимости.

Аналогично концентрация свободных дырок в валентной зоне невырожденного примесного полупроводника будет равняться:

  ,                                                  (2)

где   - эффективная  плотность квантовых состояний в валентной зоне,

 - энергия потолка валентной зоны,

- энергия уровня Ферми,

Энергию любого уровня можно выразить через потенциал электрического поля:

,    ,                                                 (3)

где  - заряд электрона.

С учётом выражения (3) формулы (1) и (2) можно переписать в виде:

,                                                 (4)

,                                                 (5)

где  - температурный потенциал

,                                                         (6)

- потенциал уровня Ферми,

 - потенциалы дна зоны проводимости и потолка валентной зоны соответственно. Разница этих потенциалов равна ширине запрещённой зоны:

_.                                                        (7)

Потенциал уровня Ферми для невырожденного полупроводника определяется выражением:

для n-области:

,                                            (8)

для p-области:

,                                             (9)

3 Математическое моделирование для примесного полупроводника

3.1 Легирование кремния атомами сурьмы

Валентность кремния 4, валентность сурьмы 5, следовательно, сурьма является донором, N_д=м^-3. Т. к. сурьма донор, то полупроводник n-типа, следовательно, основные носители заряда электроны, неосновные - дырки.

При Т=300К практически все атомы примеси ионизированы, т. е. .

Концентрацию дырок можно найти по выражению (5). Учитывая соотношения (7) и (8), получим:

  .                   (10)

Исследуем данную зависимость от температуры.

Рисунок-1 Зависимость концентрации неосновных носителей(р) от температуры(Т) в кремнии согласно формуле (10) после легирования его атомами сурьмы с концентрацией:1 – , 2 – , 3 – .

Вычислим концентрацию дырок при Т=300К:

,

,

,

,

.

Получим:

,

При легирование кремния атомами сурьмы концентрация основных носителей(электронов) будет практически постоянной и равной концентрации донорной примеси. Концентрация же неосновных носителей(в данном случае, дырок) будет быстро возрастать с ростом температуры, как видно из рис.1, но на несколько порядков отставать от основных. Причём чем больше концентрация атомов сурьмы, тем меньше концентрация неосновных носителей.

3.2 Легирование кремния атомами бора

Валентность бора 3,  бор – акцепторная примесь, N_а =2*10¹⁸ м^-3. Т. к. бор – акцептор, то после легирования его атомами образца кремния получаем полупроводник p-типа, где основные носители заряда  - дырки, неосновные  - электроны.

При температуре Т=300К практически все атомы примеси ионизированы, т. е. .

Концентрацию дырок можно найти по выражению (4). Учитывая соотношения (7) и (9), получим:

.                   (11)

Исследуем данную зависимость от температуры.

Рисунок-1 Зависимость концентрации неосновных носителей(n) от температуры(Т) в кремнии согласно формуле (11) после легирования его атомами бора с концентрацией:1 – , 2 – , 3 – .

Вычислим концентрацию электронов при Т=300К:

,

,

,

,

.

Получим:

.

При легирование кремния атомами бора концентрация основных носителей(дырок) будет практически постоянной и равной концентрации акцепторной примеси. Концентрация же неосновных носителей(в данном случае, электронов) будет быстро возрастать с ростом температуры, как видно из рис.2, но на несколько порядков отставать от основных. Причём чем больше концентрация атомов бора, тем меньше концентрация неосновных носителей.