Примерные виды гистограммы, накопленного полигона и кумулятивной кривой

Относительная  частота определяется  по  формуле:  

 , где     m_i- абсолютная  частота  попадания  параметра x в  интервал;

           n-  общее  число  статистических  данных.

Примерные  виды  гистограммы , накопленного полигона и  кумулятивной  кривой  изображены  на  рис.1  и  2.

 

Рис.1  Гистограмма                           Рис. 2. Накопленный полигон(1) и кумулятивная  кривая (2)

Высота прямоугольника  гистограммы  находится  по  формуле

.

Высота  прямоугольника  кумулятивной  кривой  равна

,

где m- число суммируемых частот  до x=x_i .

Среднее  арифметическое  значение  параметра  рассчитывается  по формуле

  или  приближенно  по  формуле

 , где     k– число  разрядов, - середина  i-го  интервала.

Статистическая  дисперсия:

 

или  приближенно

.

Метод моментов.При методе моментов вид теоретической кривой плотности  распределения  подбирается  по  виду  гистограммы,  а  числовые  её  характеристики  (моменты)  принимаются  равными  соответствующим  статистическим  характеристикам.  Например,  для  нормального  распределения

,   .

Для  построения  теоретической  кривой  плотности  нормального  распределения  (на  графике  гистограммы)  рассчитываются  её  значения  в  нескольких  точках,  обычно  соответствующих  границам  интервалов,  по  формуле

.

Проверяется  гипотеза  о  нормальном  законе  распределения  при  помощи  одного  из  критериев  согласия.  Наиболее  распространенным  является  критерий  Пирсона

, где   P_i– теоретическая  вероятность  попадания  параметра  x  в  i-й  интервал. При  нормальном  законе  распределения

, где Ф(…) – табулированная функция Лапласа, определяемая по табл. П1 приложения  в  зависимости  от  величины  аргумента.

Результаты  расчетов  целесообразно  оформить  в  виде  табл. 2

Гипотеза  о  нормальном  законе  распределения  не  противоречит  статистическим  данным,  если c² < c_p² .Величина   c_p²  берется  из табл. П2 приложения для  заданного  уровня  значимости  р  и  числа  степеней  свободы v=k-m-1,  где   k- число  интервалов,  а  m=2.

Метод  вероятностных  сеток.    В  общем  случае  график  функции  распределения  F(x)  представляет  собой  кривую  линию  (рис. 3).

Соответствующим  преобразованием  величин  F(x)  или  x  или  обеих  вместе  удается сделать график прямолинейным.

Таблица 2

Интервал	Относительная частота, Pi*	Вероятность,  Pi
970-980 980-990 •••	P1* P2* •••	P1 P2 •••	n1 n2 •••

Прямоугольная  сетка,  на  которой  график  функции  распределения  представляет  прямую  линию,  получила  название  вероятностнойсетки.  На  рис. 4  показан  преобразованный  в  прямую  линию  график  функции  нормального  распределения, причем  ордината  S_F  соответствует  значению  функции  F,  а  абсцисса S_x– значению  аргумента  x.  Шкала  по  оси  абсцисс  равномерная  и  строится  с  использованием  соотношения

, , где L– принятая нами ширина графика, мм;

.

 

A

mx

 

					Рис.4.  График  функции  нормального распределения  на  вероятностной                                               бумаге

 

Шкала на оси ординат неравномерная и строится с использованием соответствующей формулы [3] или табл. П3 приложения, если длина шкалы равна 300 мм.

После построения шкал вероятностной сетки на нее наносятся точки, соответствующие значениям функции распределения на границах разрядов.

Через  точки  проводится  прямая  таким  образом,  чтобы  наибольшие  отклонения  точек  от  проведенной  прямой  были  минимальными.  Можно  применить  также  метод  наименьших  квадратов.

Величина максимального ожидания m_x будет равна отрезку x_min A на оси абсцисс (см. рис. 4), а среднее квадратичное отклонение, если длина шкалы на оси ординат равна 300 мм, рассчитывается по формуле

 .

Гипотезу о нормальном законе распределения можно принять, если все точки лежат на проведенной прямой или  если  величина критерия  Пирсона c²будет малой, а соответствующая  ей  вероятность P > 0,8.

Порядок  проведения  работы

1. Измерить величину параметра (сопротивление резистора или ёмкость  конденсатора)  у  80 - 100  радиоэлементов  (указывается  преподавателем).

2. По  данным  измерений  составить  таблицу  (см. выше)

3. Определить  размах  значений  параметра,  моду  и  медиану;  рассчитать  среднее  арифметическое,  статистическую  дисперсию  и  среднеквадратическое  отклонение.

4. Используя  метод  моментов, построить  теоретическую  кривую  плотности  нормального  закона  распределения  и  проверить  согласованность  этой кривой  со  статистическими  данными, используя  критерий  c² Пирсона.

5. Методом  сеток  проверить  соответствие  статистических  данных  нормальному  закону  распределения.

Содержание  отчёта

1. Цель  работы.

2. Тип  элемента  и  его  номинальное  значение;  тип  и  номер  измерительного  прибора.

3. Измеренные  значения  параметров  элементов.

4. Таблица  интервалов  и  результатов  расчёта  частот.

5. Значения  размаха,  моды  и  медианы.

6. Расчёт  среднего  арифметического, статистических  дисперсий  и  среднеквадратического  отклонения.

7. Расчет  теоретической  кривой  плотности  распределения.

8. Графики  гистограммы,  теоретической  кривой  (совмещены)  и  кумулятивной  вероятности.

9. Расчёт  критерия  c²Пирсона.

10. Результаты  проверки  гипотезы  о  нормальном  законе  распределения  методом  сеток.

11. Анализ  полученных  результатов.

Контрольные  вопросы

1.  Что понимается под законом распределения  случайной величины?

2. Понятие о ряде, функции и плотности распределения случайной величины.

3. Как строятся кумулятивная кривая, гистограмма?

4. Что понимается под методом моментов, методом вероятностных