Помехо-устойчивое кодирование в системах мобильной радиосвязи

зывается правило минимального расстояния Хэмминга, согласно которому принятый вектор Y должен декодироваться в ближайший к нему, по Хэммингу, кодовый вектор С. Напомним, что в двоичном случае расстояние Хэмминга между Y и С есть просто число единиц среди элементов вектора Y + С .

Под термином кодпонимается множество из Мкодовых слов. Отметим, что для произвольного кода с большим числом слов реализация оптимального правила декодирования может оказаться чрезвычайно затратной в аппаратно-программном отношении. Из-за существования довольно простых алгоритмов декодирования наибольшее применение находят линейные коды, являющиеся линейными подпространствами. В системах мобильной связи, в частности, нашли применение линейные коды Хэмминга, БЧХ, Голея, Рида-Маллера, Рида-Соломона (PC).

Параметры линейного кода n(длина или размерность пространства, в котором задан код) и K (число информационных бит или размерность кода) - определяют его избыточность п-к (число проверочных символов), скорость (7.1) и входят в его традиционное обозначение  (n, к). В слове систематического кода длины n, как правило, первые ксимволов являются информационными, в то время как оставшиеся п-кпозиций принадлежат избыточным символам, создаваемым кодером. Корректирующая способность оценивается с помощью кодового расстояния d₀- минимального расстояния Хэмминга между всевозможными парами кодовых слов. Чем больше d₀, тем выше помехоустойчивость кода, а именно максимальное число (кратность) символьных   ошибок,   гарантированно   обнаруживаемых   кодом

Если же код используется для исправления ошибок, то это с гарантией выполнимо, если их кратность не превосходит

где (•) - целая часть числа. В случае, кода код должен исправлять какое-то количество ошибок t_испр и сверх этообнаруживать t_обн  >t_испр ошибок, его расстояние должно быть не меньшим

Для задания кода и, следовательно, для вычисления контрольных символов по известным информационным можно использовать один из возможных способов задания подпространства размерности кв пространстве размерности п. Напомним, что задание пространства предполагает и задание поля, откуда берутся коэффициенты разложения вектора по базису (координаты вектора). Вышеперечисленные коды, кроме кода Рида-Соломона, заданы над двоичным полем, а последний - над расширением двоичного, имеющим 2^тэлементов, где т - натуральное число.

Каждый проверочный бит b_j, есть линейная комбинация некоторых вполне определенных информационных, например, bj =a₁+a₃+a₆. Благодаря свойствам сложения по модулю 2 последовательность а₁, а₃, а₆, b_j, содержит четное число символов 1.

Поэтому проверочные символы часто называют битами контроля четности или просто битами четности.

Классические способы задания линейного кода связаны с порождающейматрицей G, строками которой являются Kлинейно независимых кодовых слов (базис кода)

и проверочнойматрицей, Н, обладающей свойством(7.2)

где верхний индекс Т означает транспонирование; 0 - нулевой вектор. Поясним на следующем примере смысл порождающей матрицы.

Пример 7.1. Порождающая матрица кода Рида-Маллера (8,4) первого порядка имеет вид

Кодовое слово есть линейная комбинация базисных векторов

где    А = (а₁, а₂, а_3, а₄)    -   информационные   биты.    Так,    если А = 0110, то С = 00111100, при А = 1110 - С = 11000011. Коды Рида-Маллера первого порядка существуют для любых длин п = 2^k-1и имеют минимальное расстояние d₀ = n/2. Отметим связь кодов Рида-Маллера с широко распространенными в цифровой связи функциями Уолша.

При замене двоичных символов 0 и 1 на +1 и -1 соответственно операция сложения по модулю 2 перейдет в умножение действительных чисел +1 и -1. При таком отображении базисные векторы кода дадут функции Радемахера (меандры, период каждого из которых равен половине периода предыдущего), а остальные кодовые слова -прямые и противоположные функции Уолша, равные различным произведениям функций