Выражения для передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем. Записать дифференциальное уравнение системы

Федеральное агентство по образованию.

Владимирский Государственный Университет

Кафедра РТ и РС.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА.

            Выполнила: ст. гр. РТС-105

                                                                                 Проверил:

Владимир 2008 г

ЗАДАНИЕ.

По положению нуля и пяти полюсов передаточной функции системы автоматического регулирования выполнить следующие пункты задания:

1.  Записать выражения для передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем.

2.  Записать дифференциальное уравнение системы.

3.  Изобразить структурную схему системы.

4.  Найти и построить весовую и переходную характеристики системы.

5.  Найти и построить амплитудно-частотную и фазочастотную, амплитудно-фазовую характеристики системы.

6.  Построить асимптотическую логарифмическую амплитудно-частотную характеристику системы.

7.  Проанализировать устойчивость системы методами Рауса-Гурвица, Михайлова, Найквиста и по ЛАЧХ. Привести графики годографов Михайлова и Найквиста.

8.  Определить запас устойчивости в случае устойчивой системы или дать рекомендации по обеспечению устойчивости в случае неустойчивой

Исходные данные:

p0= - 1; p1= 0; p2= - 15; p3= - 0, 01; p4= - 2; p5= - 3; K=100

Решение:

1.Выражение передаточной функции разомкнутой системы:

2. Выражение для передаточной функции замкнутой системы может быть получено из формулы:

;

3. Дифференциальное уравнение замкнутой системы:

В дифференциальной форме передаточную функцию системы можно записать в следующем виде: т.е. отношение реакции цепи на воздействие к этому воздействию.

т.е. имеем:

Учитывая , получаем дифференциальное уравнение цепи:

4. Структуру замкнутой системы можно представить в виде разомкнутой системы, охваченной ООС. Разомкнутую систему можно представить в виде включенных последовательно звеньев:

Значит, структурная схема имеет вид:

5. Амплитудно-частотная характеристика системы.

Для получения АЧХ в выражении для передаточной функции разомкнутой системы заменяем p на jω:

АЧХ системы – это модуль передаточной функции системы:

График АЧХ:

6. Фазочастотная характеристика системы.

ФЧХ системы – это аргумент передаточной функции системы:

Т.к. в знаменателе стоит p, то будет происходить разрыв при ω=0 на π.

График ФЧХ:

7. Амплитудно-фазовая характеристика системы.

Передаточная функция:

;

В области частот:

Выделим реальную и мнимую части:

Помножим числитель и знаменатель на

В итоге получим:

Выделяя реальную и мнимую часть, получаем:

В декартовой системе координат реальную часть принято откладывать по оси абсцисс, а мнимую – по оси ординат.

Построим АФХ:

w= 0, 0.01 .. 100

w= 0, -0.01 .. -100

8. Переходная характеристика системы.

Переходная характеристика в операторной форме имеет вид:

Взяв обратное преобразование Лапласа, получаем переходную характеристику во временной области:

9. Весовая функция системы.

Определяется как производная по времени от переходной характеристики:

График весовой функции системы:

10. ЛАЧХ и ЛФЧХ системы.

Сопрягающие частоты:

АЧХ имеет вид:

ФЧХ имеет вид:

ЛАЧХ имеет вид:

Рассмотрим поведение ЛАЧХ анализируемого звена:

1)  при

2)  при :

3)  при :

4)  при :

5)      при

6)  при 

Построим ЛАЧХ:

Построим асимптотическую ЛАЧХ.

Построим ЛФЧХ:

11. Анализ устойчивости системы методом Рауса-Гурвица.

Характеристический полином замкнутой системы:

Его коэффициенты:

Матрицы Рауса-Гурвица:

Т.к. первый коэффициент характеристического уравнения отрицательный и определители матрицы отрицательны, то система неустойчива.

12. Анализ устойчивости системы методом Михайлова.

Характеристический полином замкнутой системы в частотной области:

Необходимо, чтобы сумма аргументов корней равнялась .

Данное условие выполняется:

Достаточное условие заключается в том, чтобы вектор кривой Михайлова при изменении частоты от нуля до  повернулся вокруг начала координат против часовой стрелки на угол . Выделим реальную и мнимую часть:

При построении будем использовать положительные частоты.

Как видно из графиков, годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞   не обходит последовательно квадранты координатной плоскости. Значит, система неустойчива.

13.  Анализ устойчивости системы методом Найквиста.

Введем вспомогательную функцию.

, так как , то

Где:

Тогда:

Необходимо и достаточно, чтобы функция в плоскости комплексной переменной была замкнута и не охватывала точку (-1; j0).

Так как функция терпит разрыв, то система неустойчива.

14.Анализ устойчивости системы по ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Строим ЛАЧХ:

Строим ЛФЧХ:

Сопоставляя график ЛАЧХ и ЛФЧХ видим, что при L(A(ω))>0 происходит переход из положительной в отрицательную плоскость. Значит, система неустойчива.

15. Рекомендации по обеспечению устойчивости системы.

Для достижения устойчивости системы необходимо ввести в систему два идеально дифференцирующих звена