Методы вычислений методом коллокаций

Отчёт по лабораторной работе 2.

Задание 2.1.

В первой части задания краевая задача решалась методом коллокаций (методом базисных функций). Данный метод является разновидностью полуаналитических методов. Суть его заключается в том, что изначально задаётся вид решения (с помощью базисных функций) с неопределёнными изначально коэффициентами, которые определяются численно. Способ их вычисления определяется  характером (концепцией) конкретного метода. Метод коллокаций имеет несомненное преимущество в том, что решение получается сразу в виде аналитической формулы, с которой потом можно проводить различные математические манипуляции (дифференцировать, интегрировать и т. п.). Но также наряду с этим метод имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что при произвольном выборе базисных функций приближённое решение может не сходиться к точному. А в подавляющем большинстве случаев аналитический вид точного решения дифференциального уравнения не существует.

В работе был произведён расчёт коэффициентов c_k с помощью метода коллокаций. Было замечено, что при n<10-12 действительно с увеличением n коэффициенты по модулю стремятся к нулю, а решение сходится к точному. Но при значениях n, больших 10-12, приближённое решение начинает «разбалтываться», и коэффициенты по модулю не стремятся к нулю.

Задание 2.2

Во второй части задания краевая задача решалась методом конечных разностей. Конечно-разностные методы являются наиболее общими методами решения дифференциальных уравнений, слабо зависят от вида уравнения. С помощью этих методов могут быть получены формулы произвольного порядка точности. Приближённое решение получается в виде сеточной функции.

В работе была использована двухточечная аппроксимация уравнения со вторым порядком точности. Значения сеточной функции вычислялись с помощью метода прогонки. При увеличении числа шагов сетки в два, четыре, восемь раз погрешность численного решения уменьшается, соответственно, в четыре, шестнадцать, шестьдесят четыре раза, что свидетельствует о втором порядке точности разностной схемы.