Гипотезы для стержня круглого сечения. Определение угла закручивания, расчет прочности и жесткости

расчетному сопротивлению срезу, выразим требуемый для выполнения условия прочности полярный момент сопротивления сечения:

Величина требуемого полярного момента сопротивления сечения обеспечивает выполнение условия прочности, она зависит от максимального крутящего момента в опасном сечение и от расчетного сопротивления срезу. И не зависит  от формы поперечного сечения.

2.4.1.  Определение размеров круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции: , тогда полярный момент сопротивления сплошного круглого сечения:

;

Приравниваем  и выражаем диаметр:

Вычисляем с этим диаметром значение наибольшего по модуля касательного напряжения:

 перенапряжение, найдем процент перенапряжения:

Определим момент инерции: 

2.4.2.   Проверка жесткости.

 Условие выполняется.

Окончательно принимаем d = 6,12 (см)

     Площадь сплошного круглого сечения:

2.4.3.  Построение эпюры касательных напряжений.

2.4.4.  Определение размеров трубчатого сечения.

Полярный момент инерции: , тогда полярный момент сопротивления трубы:

;

Приравниваем  и выражаем диаметр:

Вычисляем с этим диаметром значение наибольшего по модуля касательного напряжения:

 перенапряжение, найдем процент перенапряжения:

Определим момент инерции трубчатого сечения: 

2.4.5.   Проверка жесткости.

 Условие выполняется.

Окончательно принимаем d = 6,94 (см)

Площадь трубчатого сечения:

2.4.6.  Построение эпюры касательных напряжений.

2.4.7.  Определение размеров прямоугольного сечения.

При кручении прямоугольных сечений используют следующие геометрические характеристики:

Момент инерции  и момент сопротивления

В данном случае h/b = 2 по табл.[1] в зависимости от отношения высоты к ширине сечения берем:

2.4.8.  Расчет на прочность.

Вычислим касательное напряжение:

перенапряжение, найдем процент перенапряжения:

Определим момент инерции: для стержней прямоугольного сечения  , где b – меньший из двух размеров сторон прямоугольника.

2.4.9.  Расчет  на жесткость.

 Условие выполняется.

Окончательно принимаем h = b = 4,64 (см)

2.4.10.  Построение эпюры касательных напряжений.

С экономической точки зрения, в данном варианте, выгодным является использовать круглое сплошное сечение

  3.  Статически неопределимая задача.

Назначим систему координат, разобьем стержень на грузовые участки, отбросим заделку справа и заменим её влияние реактивным моментом .

3.1.  Раскрытие статической неопределимости.

3.1.1.  Статическая сторона задачи.

Составим уравнение равновесия:

Найдем степень статической неопределимости как разницу между неизвестными опорными реакциями и количеством уравнений статики  - степень статической неопределимости равна единице. Это значит, что задача один раз статически неопределима и для раскрытия статический неопределимости необходимо привлечь еще одну сторону задачи.

3.1.2.  Геометрическая сторона задачи.

Перемещение (угол закручивания) свободного конца (сечение 1 – 1 - жесткая заделка) невозможно, тогда это перемещение можно представить как сумму углов закручивания грузовых участков

3.1.3.  Физическая сторона задачи.

Угол закручивания на грузовом участке длинной l, где  можно представить в виде: ;

Т. к. в данном случае на III грузовом участке присутствуют равномерно распределенные крутящие моменты получим формулу для перемещения:

3.2.  Нахождение крутящих моментов.

Запишем уравнения крутящих моментов на грузовых участках, рассматривая при этом равновесие правой части, содержащей опорную реакцию .

3.2.1.  I грузовой участок.

3.2.2.  II грузовой участок.

3.2.3.  III грузовой участок.

3.2.4.  IV грузовой участок.

Подставим эти выражения в уравнение совместности деформаций, тогда зная, что крутильная жесткость на грузовых участках не меняется, получим уравнение с одним неизвестным:

Проверка:

Т. к. значение реактивного момента получилось отрицательное, значит, его надо направить в противоположную сторону.

3.3.  Определение крутящих моментов на грузовых участках.

3.3.1.  I грузовой участок.

3.3.2.  II грузовой участок.

3.3.3.  III грузовой участок.

3.3.4.  IV грузовой участок.

3.4.  Определение углов закручивания.

Определение углов закручивания начинают с того сечения, в котором известен начальный угол закручивания, в данном случае это сечение 8 – 8 (заделка). Угол закручивания здесь равен 0, т.к. жесткая заделка.

Перемещение сечение 1 – 1 равно нулю, так как этому сечению соответствует заделка, а в ней поворот невозможен. 

3.5.  Построение эпюр.

3.6.  Расчет на прочность и жесткость. Подбор сечения.

С помощью эпюры крутящих моментов определим опасное сечение. В сечении 6 – 6 на II грузовом участке максимальный крутящий момент: .

Уравнение прочности:

Приравниваем максимальное по модулю касательное