Модели линейных САУ. Общая модель линейной непрерывной и дискретной САУ

Материалы лекций № 1.8-9.

Модели линейных САУ.

******

Общая модель линейной непрерывной и дискретной САУ. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Краевые задачи. Линейные САУ, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами (Передаточная функция линейной САУ. Переходная функция. Весовая, или импульсная переходная, функция системы. Частотные и логарифмические характеристики линейной САУ.). Дискретные линейные САУ. Системы с цифровыми вычислительными машинами.

*****

Линейные САУ занимают особое место в теории автоматического управления. Обусловлено это двумя причинами.

Во-первых, очень многие реальные системы при некоторых ограничениях могут быть линеаризованы. Правда, методы линеаризации не всегда столь просты.

Во-вторых, методы решения линейных дифференциальных или разностных уравнений, которыми в данном случае описываются объекты управления – область давно разработанная.

Формализованным определением понятия линейности в приложении к математической модели объекта управления является требование линейности функций F(X, U, t) и N(X, U, t). Функция f(X₁, Х₂, ..., Х_n) называется линейной, если выполнены условия:

                (1.8-9.1. – 1.8-9.2.)

1.8-9.1. Общая модель линейной непрерывной и дискретной САУ

Требования линейности (1.8-9.1. – 1.8-9.1.) приводят к описанию (моделированию) объекта управления в виде:

                                 (1.8-9.3.)

для непрерывных САУ и, соответственно,

                           (1.8-9.4.)

или

                       (1.8-9.5.)

для дискретных САУ. Будем, как и раньше, считать возмущения малыми (ξ<<1) т.е. будем считать ξ = 0, и работать с уравнениями

                       (1.8-9.6. - 1.8-9.7.)

Характерной чертой линейных САУ, является возможность применения к ним принципа суперпозиции, который может быть сформулирован следующим образом. Пусть U_j(t)   (j = 1, 2, ... , k) -  некоторые, вообще говоря, различные, выбранные нами управления, а X_j(t) —соответствующие этим уравнениям траектории объекта управления в фазовом пространстве. Тогда для линейной САУ траектория движения объекта управления X(t) при действии управления

                                                  (1.8-9.8.)

будет равна                                                                      (1.8-9.9.).

Этот принцип позволяет исследователю рассматривать результат действия каждого управления в отдельности, независимо от действия других управлений.

Очень часто линейные САУ описывают линейным дифференциальным уравнением вида:

          (1.8-9.10.)

т. е. в несколько иной форме, чем (1.8-9.6.). Однако, по сути дела, описание (1.8-9.10.) эквивалентно описанию (1.8-9.6.) с точностью до обозначений. Введем следующие обозначения:

                        (1.8-9.11.)

и, соответственно,

           (1.8-9.12.)

тогда, рассматривая n-мерный вектор Х(t) = {х (t), x₁(t), ..., x_n(t)} и m + 1-мерный вектор U(t) ={u(t), u₁(t), ..., u_n(t)} (считаем m + 1 < n, что обычно выполняется в реальных САУ), а также определив матрицу А размерности n × n как

                  (1.8-9.13.)

и матрицу В размерности n × (m + 1) равной

                                 (1.8-9.14.)

получим

                                                 (1.8-9.15.)

Таким образом, уравнение (1.8-9.10.)и система (1.8-9.6. - 1.8-9.7.) эквивалентны между собой. Каждому решению x_i = х_i(t) уравнения (1.8-9.10.) соответствует решение X(t) = {х_i(t), х_i¹(t), ..., х_i^(n-1) (t)} системы (1.8-9.6. - 1.8-9.7.), и наоборот, каждому решению

                               (1.8-9.16.)

системы (1.8-9.6. - 1.8-9.7.) соответствует решение x(t) = x_i(t) уравнения (1.8-9.10.), причем это соответствие однозначно.

Замечание. Из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений в предположении, что элементы матрицы A(t) = {a_ij(t)} и свободные члены  непрерывные функции на интервале (0, τ), следует, что система (1.8-9.6. - 1.8-9.7.) при любых начальных условиях

                                       (1.8-9.17.)

имеет решение на этом интервале, причем это решение единственное. Часто начальное условие (1.8-9.17.) записывают в виде

                                 (1.8-9.18.)

где Х₀— некий постоянный n-мерный вектор.

Аналогично для уравнения (1.8-9.10.)в предположении, что

             (1.8-9.19. – 1.8-9.20.)

— непрерывные функции на интервале (0, τ), следует, что уравнение (1.8-9.10.)при любых начальных условиях

                     (1.8-9.21.)

имеет решение на этом интервале, причем это решение единственное.

Эти утверждения следуют из одной из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными) — задачи Коши. Простейшая задача Коши состоит в том, что требуется найти определенную на полупрямой t ≥ t₀ вектор-функцию X(t), которая удовлетворяет уравнению

                                      (1.8-9.22.)

и при t = t₀ - принимает значение Х₀, т. е. X(t₀) = Х₀. Коши в начале прошлого века доказал, что в предположении непрерывности f(X, t) для всех t и непрерывной дифференцируемости по Х эта задача всегда имеет решение, причем решение единственное и непрерывно зависящее от начальных данных.

1.8-9.2. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Будем рассматривать нормальную систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

                                 (1.8-9.23.)

или, в векторной записи,

                                         (1.8-9.24.)

В первую очередь исследуем однородную систему, т. е. случай f(t) ≡ 0(f_i(t) ≡ 0, i=1,2, ..., n). Для однородной системы имеем

                                                   (1.8-9.25.)

или, в векторной записи,

                                              (1.8-9.26.)

Установим простейшие свойства этих уравнений.

1. Если X(t) = X₀(t) — решение уравнения (1.8-9.26.) — обращается в нуль при некотором значении t₀:

                                             (1.8-9.27.)

то это решение тождественно равно нулю X₀(t) ≡ 0, t₀ < t < t_k Такое решение называется тривиальным. Это свойство непосредственно следует из замечания изложенного