Устойчивость систем автоматического управления

Материалы лекций № 1.10-11.

Устойчивость систем автоматического управления.

******

Введение. Основные понятия теории устойчивости (математическая формулировка). Общие теоремы об устойчивости линейных САУ. Устойчивость линейной САУ с постоянной матрицей. Связь устойчивости с корнями характеристического уравнения. Критерии устойчивости. Алгебраические критерии устойчивости. Частотные критерии устойчивости. Логарифмический критерий устойчивости. Запас устойчивости по фазе и амплитуде. Устойчивость импульсных САУ. Устойчивость нелинейных САУ

*****

Введение.

Прежде чем дать точное математическое описание вопросов, связанных с понятием устойчивости, покажем, как связана теория регулирования с основными положениями теории устойчивости на менее строгом уровне. Вернемся к уравнению, описывающему движение объекта управления (на примере самолета):

                                                (1.10-11.1.)

Здесь, как и выше, X(t) – вектор, описывающий траекторию самолета в фазовом пространстве, ξ – случайный вектор возмущений, а Р — вектор конструктивных параметров автопилота, которые выбираются конструктором так, чтобы обеспечить достижение цели управления. Зная расчетную траекторию, всегда можно выбрать такое преобразование координат, чтобы при отсутствии возмущений этой траектории отвечали нулевые значения фазового вектора, т. е.

                                        (1.10-11.2.)

Пусть в некоторый момент времени t = t₀ самолет попал в воздушную яму, т. е. отклонился в результате возмущения от расчетной траектории

                                        (1.10-11.3.)

Очевидно, что необходимым условием достижения цели является условие стремления к нулю с течением времени отклонения от расчетной фазовой траектории. Это означает, что для компонент вектор-функции X(t), определяющей отклонение от расчетной траектории, выполняется условие

                                           (1.10-11.4.)

Условие (1.10-11.4.) является некой идеализацией, так как в реальности достижение цели управления всегда должно происходить за конечный промежуток времени Т. Однако если время затухания отклонения много меньше длительности полета, то такая идеализация допустима, а исследование поведения функции при t → ∞ оказывается более простым, чем на конечном интервале.

Условие (1.10-11.4.) называют условием асимптотической устойчивости тривиального (Х=0) решения уравнения (1.10-11.1.). Как правило, конструктора интересует не только вопрос — устойчив ли полет самолета с данными параметрами, но и области изменения параметров автопилота (вектор Р), при которых объект устойчив.

При исследовании устойчивости плодотворна идея линеаризации, неоднократно использованная и предыдущем рассмотрении. В самом деле, поскольку отклонения от расчетной траектории должны быть малыми, то, отбрасывая члены второго порядка малости, получим линеаризацию уравнения (1.10-11.1.) в виде

                                                (1.10-11.5.)

где А = {а_ij} (i = 1, 2, ..., n, j = 1,2, ..., n) - матрица dF/dX| _{X=0, i=0} , коэффициенты которой есть функции компонент вектора Р и времени t.

Наиболее простой случай исследования—устойчивость стационарных движений, при которых правая часть в уравнении (1.10-11.1.) не содержит в явном виде времени и поэтому элементы матрицы А постоянны. При этом вопрос асимптотической устойчивости, как будет показано ниже, сводится к чисто алгебраической задаче.

1.10-11.1. Основные понятия теории устойчивости (математическая формулировка)

Рассмотрим уравнение

                                        (1.10-11.6.)

где вектор-функция F(X, t) непрерывна по времени при а < t < b и имеет непрерывные частные производные 1-го порядка по х₁, х₂, ...., х_n - компонентам вектора Х в некой области D_x. При этих условиях справедлива теорема Коши: для каждой системы значений (t₀, X(t₀)) существует единственное решение X = X(t) уравнения (1.10-11.1), определенное в некотором интервале времени и удовлетворяющее начальному условию X(t₀) = Х₀, т. е. задача Коши однозначно разрешима.

Для системы дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью и свойством единственности имеет место интегральная непрерывность решений, а именно: если Х(t) (а < t < b) есть решение (1.10-11.6.), то для любых ε > 0 и [α, β,] Ì [а, b] существует δ > 0 такое, что решение X(t), определяемое начальным условием