Решение дифференциальных уравнений, приведя его к каноническому виду

q=solve(a11*dy^2-2*a12*dx*dy+a22*dx^2,dy)  

q =

[ -dx]

[ -dx]  

Определим из уравнения характеристик функции θ, ή

teta=y-subs(q(1), x, dx)

teta =

y+x

В качестве функции ή выберем функцию

eta=y  

eta =

y  

Проверим линейную зависимость функций θ и ή, для чего вычислим якобиан этих функций

det(jacobian([teta,eta]))  

ans =

1  

Определитель матрицы Якоби не равен нулю, значит подобранные функции являются линейно независимыми, то есть подобраны корректно.

Вычислим первые производные функций θ и ή по каждому из аргументов.

teta_x=diff(teta,x)  

teta_x =

1  

teta_y=diff(teta,y)  

teta_y =

1  

eta_x=diff(eta,x)  

eta_x =

0  

eta_y=diff(eta,y)  

eta_y =

1  

Вычислим производные функции u

u_x=u_t*teta_x+u_e*eta_x  

u_x =

u_t

u_y=u_t*teta_y+u_e*eta_y  

u_y =

u_t+u_e

u_xx=u_tt*teta_x^2+u_ee*eta_x^2+2*u_te*teta_x*eta_x  

u_xx =

u_tt

u_xy=u_tt*teta_x*teta_y+u_ee*eta_x*eta_y+u_te*(teta_x*eta_y+teta_y*eta_x)  

u_xy =

u_tt+u_te

u_yy=u_tt*teta_y^2+u_ee*eta_y^2+2*u_te*teta_y*eta_y  

u_yy =

u_tt+u_ee+2*u_te  

Подставим полученные производные в исходное уравнение

syms f c;

f=0; c=0;

a11*u_xx+2*a12*u_xy+a22*u_yy+b1*u_x+b2*u_y+f  

ans =

u_ee-2*u_e  

В итоге был получен канонический вид уравнения парболического вида:

                     (1)

Применив метод разделения переменных, представим искомую функцию u в виде:

                    (2)

Из равенства (2) вычислим производные функции u:

Подставим полученные выражения в уравнение (1):

Поскольку , то . Решим это уравнение:

d=dsolve('D2b-2*Db=0', 'eta') 

d =

C1+C2*exp(2*eta)  

где , .

Таким образом, решение имеет вид

                   (3)

А(θ) – дважды непрерывно дифференцируемая функция. Произведем замену в уравнении (3):

Таким образом уравнение (3) примет вид:

Подставим вместо θ и ή выбранные нами функции

θ= y+x  

ή =y  

Получим общее решение уравнения (1):

где ,  – дважды непрерывно-дифференцируемые функции.

Проверим полученное решение.

teta=y+x  

teta =

y+x  

eta=y  

eta =

y  

C3=teta  

C3 =

y+x  

C4=teta  

C4 =

y+x  

u=C3+C4*exp(2*eta)  

u =

y+x+(y+x)*exp(2*y)  

Подставим в исходное уравнение.

a11*diff(diff(u, x), x)+2*a12*diff(diff(u, x), y)+a22*diff(diff(u, y), y)+b1*diff(u, x)+b2*diff(u, y)+c*u+f 

ans =

0  

В результате получили выражение туждественно равное нулю, значит уравнение решено верно.

Задание 2.

Решить дифференциальное уравнение, приведя его к каноническому виду.

.

Решение

Решим задачу в системе Matlab. Сначала определим необходимые переменные:

syms dx dy x y teta eta teta_x teta_y eta_x eta_y u_tt u_t u_te u_e u_ee u_x u_y u_xx u_xy u_yy;  

Зададим коэффициенты.

a11=3; a12=2; a22=1; b1=0; b2=0; c=0; f=0;  

Опредлим тип уравнения.

a12^2-a11*a22  

ans =

1  

a12^2-a11*a22>0, значит уравнение гиперболического типа.

Запишем уравнение характеристик

q=solve(a11*dy^2-2*a12*dx*dy+a22*dx^2,dy)  

q =

[ 1/3*dx]

[     dx]

Определим из уравнения характеристик функции θ, ή

teta=y-subs(q(1),x,dx)  

teta =

y-1/3*x

eta=y-subs(q(2),x,dx)  

eta =

y-x

Проверим полученные функции на линейную зависимость.

det(jacobian([teta,eta]))  

ans =

2/3

Якобиан не равен нулю, значит полученые функции линенйно независимы.

Вычислим первые производные функций θ и ή по каждому из аргументов.

teta_x=diff(teta, x)

teta_y=diff(teta, y)

eta_x=diff(eta, x)

eta_y=diff(eta, y)  

teta_x =

-1/3

teta_y =

1

eta_x =

-1

eta_y =

1   

Вычислим производные функции u

u_x=u_t*teta_x+u_e*eta_x 

u_x =

-1/3*u_t-u_e

u_y=u_t*teta_y+u_e*eta_y 

u_y =

u_t+u_e  

u_xx=u_tt*teta_x^2+u_ee*eta_x^2+2*u_te*teta_x*eta_x 

u_xx =

1/9*u_tt+u_ee+2/3*u_te

u_xy=u_tt*teta_x*teta_y+u_ee*eta_x*eta_y+u_te*(teta_x*eta_y+teta_y*eta_x) 

u_xy =

-1/3*u_tt-u_ee-4/3*u_te

u_yy=u_tt*teta_y^2+u_ee*eta_y^2+2*u_te*teta_y*eta_y 

u_yy =

u_tt+u_ee+2*u_te  

Подставим полученные производные в исходное уравнение.

a11*u_xx+2*a12*u_xy+a22*u_yy+b1*u_x+b2*u_y+f 

ans =

-4/3*u_te  

Получаем канонический вид уравнения гиперболического типа:

.

Решением этого уравнения является решение:

, где , .

Выполним обратную подстановку

.

где ,  – дважды непрерывно-дифференцируемые функции.

Проверим полученное решение.

Выберем и следующим образом

C1=5*teta-3  

C1 =

5*y-5/3*x-3

C2=9*eta^2  

C2 =

9*(y-x)^2

u=C1+C2  

u =

5*y-5/3*x-3+9*(y-x)^2

Подставим в исходное уравнение.

a11*diff(diff(u, x), x)+2*a12*diff(diff(u, x), y)+a22*diff(diff(u, y), y)+b1*diff(u, x)+b2*diff(u, y)+c*u+f 

ans =

0  

Полученное равенство тождетвенно равно нулю, значит решение найдено верно.

Список использованной литературы.

1.  Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. – 2-е изд., стереотип. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 400 с.

2.  Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука.  – 1976. – 296 с.

3.  Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB 5.0/5.3. Сиситема символьной математики. М.: Нолидж. – 1999. – 640с.

4.  Егорова Ю.Г. Некоторые задачи математической физики: Учебное пособие. – Комсомольск-на-Амуре гос. тех. ун-т, 2001. – 87 с.