Балтийский государственный технический университет
«ВОЕНМЕХ» им Д.Ф.Устинова
Инструкция для пользователя
Программа: вычисление интеграла
точным и приближённым методами.
Разработала:
Храброва Т. В.
группа И-362
Проверил:
Бехтерев К.В.
Санкт-Петербург
2007
Содержание
Постановка задачи. 3
Математическое описание методов. 4
Точный метод. 4
Метод Симпсона. 5
Схема выполнения программы.. 6
Запуск программы.. 7
Постановка задачи
0
Дан определённый интеграл вида I0(a)=∫ x2/(8+x3)2 dх, где: а
- отрезок [а;0] – область интегрирования;
- верхняя граница интегрирования равна нулю;
- подынтегральная функция имеет вид f(x)= x2/(8+x3)2.
Входные параметры (вводятся пользователем):
а - нижняя граница интегрирования;
n - количество значений а;
h - шаг интегрирования (для метода Симпсона).
Требуется:
1) для каждого вводимого а вычислить:
-значение интеграла точным методом;
-значение интеграла приближённым методом Симпсона;
-разность между точным и приближённым значениями
интеграла;
2) построить таблицу, содержащую следующие столбцы:
-значение нижней границы интегрирования;
-точное значение интеграла;
-приближённое значение интеграла, вычисленное с помощью формулы Симпсона;
-разность между точным и приближённым значениями интеграла;
3) построить график зависимости разности вычислений интеграла от значения нижней границы интегрирования.
Математическая модель.
Точный метод.
Для вычисления точного значения интеграла необходимо воспользоваться
следующей теоремой:
если функция у= f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и
F(x) – какая-либо её первообразная на отрезке [а; b], то
имеет место формула:
b
∫ f(x) dх= F(b) - F(а).
а
Одна из первообразных данной функции имеет вид
F(x) =-1/ (3(8+x3)).
Воспользовавшись данной теоремой найдём точное значение интеграла:
0
∫ x2/(8+x3)2 dх= F(0) - F(а) .
а
Подставив теперь в выражение для первообразной значения верхней и нижней границ интегрирования и и найдя разность полученных значений, имеем окончательную формулу:
0
∫ x2/(8+x3)2 dх=1/(3(8+a3))-1/24.
а
Данная подынтегральная функция не определена при значении аргумента, равном -2.
Следовательно при а≤-2 на отрезке [а;0] функция не будет являться непрерывной.
Согласно теореме точное значение интеграла на отрезке [а; b] вычисляется в случае, когда функция непрерывна на этом отрезке.
Отсюда следует что значение интеграла может быть вычислено при
значении нижней границы интегрирования а>-2.
Метод Симпсона.
Для вычисления интеграла методом Симпсона найдём
количество n узлов интегрирования хi при заданном значении нижней
границы интегрирования а и заданном шаге h:
n=trunc(abs(a)/h) , где:
abs(a)- модуль значения нижней границы
интегрирования;
trunk –оператор округления дробного значения
до целого.
В зависимости от ввода нижней границы интегрирования а задача
разбивается на 2 вида:
-если а>0,то значения узлов интегрирования вычисляются по формуле:
xi=a+i*h;
-если а<0,то значения узлов интегрирования вычисляются по формуле:
xi=a-i*h,
где значение переменной i изменяется от 0 до n.
Формула Симпсона имеет вид:
I =h*(y0+4y1+2y2+…+yn)/3 , где
yi -значение подынтегральной функции в точке xi.
Введём обозначение : summa= y0+4y1+2y2+…+yn
Тогда формула Симпсона примет вид: I=h*summa/3.
Далее, зная значения узлов интегрирования xi , вычисляем сумму и
получаем окончательный ответ:
- если а<0 ,то
I=h*summa/3;
- если а>0 ,то
I=-h*summa/3,
где h – шаг интегрирования, введённый пользователем.
Схема выполнения программы
Для решения задачи пользователю необходимо ввести следующие
входные данные:
а – нижняя граница интегрирования;
n – количество значений а;
h – шаг интегрирования (для метода Симпсона).
Программа производит вычисление интеграла точным методом и
методом Симпсона;
после этого на экран выводится таблица точных значений,
приближённых значений и их разности,
а также график разности значений двух методов в зависимости
от введённой пользователем нижней границы интегрирования.
Для реализации программы написаны следующие процедуры:
Procedure Infile – процедура ввода пользователем входных данных.
Procedure Sortfile – процедура сортировки введённых значений по
возрастанию.
ProcedureSimpson – процедура, вычисляющая значение интеграла точным и приближённым методами.
ProcedureGraphik– процедура, реализующая построение графика.
ProcedureTabl– процедура, выводящая таблицу точных решений,
приближённых решений и их разности.
Запуск программы
Для работы программы вам потребуются следующие файлы:
-Graph.tpu – стандартный модуль для работы с графикой;
-Crt.tpu – стандартный модуль с необходимым набором процедур и функций;
-Integral.pas – файл, содержащий текст главной программы.
Чтобы запустить программу, запустите Turbo Pascal 7.0.
В появившемся диалоговом окне нажмите левой кнопкой мыши по пункту меню File, выберите в появившемся списке пункт Open путем нажатия левой кнопки мыши. Затем в появившемся окне откройте нужный вам файл
INTEGRAL.PAS, дважды щёлкнув по нему левой кнопкой мыши.
Для запуска программы нажмите сочетание клавиш Ctrl+F9 на клавиатуре.
После этого вам будет предложено ввести исходные данные для решения задачи.
После того как программа завершит вычисление интеграла, вы увидите таблицу точных значений, приближённых значений и их разности.
После нажатия на клавиатуре клавиши ENTER таблица закрывается, а на экране появляется график разности точного и приближённого значений вычисления интеграла с дополнительными пояснениями.
Чтобы увидеть график на весь экран, нажмите клавишу ENTER.
Для выхода из программы нажмите клавишу ESC.
Список используемой литературы
1). Фаронов В.В. Turbo Pascal 7.0 Начальный курс. Учебное пособие. 2002 г.
2). Шапорев С.Д. «Методы вычислительной математики и их приложения» Балтийский государственный технический университет им. Д. Ф. Устинова. «ВОЕНМЕХ». СПб., 2002. 230с.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.