Составление системы уравнений по законам Кирхгофа. Расчет электрической цепи. Проверка баланса активных и реактивных мощностей

Страницы работы

Содержание работы

Постановка задачи

а) Исходные данные

В цепи действует источник синусоидальной ЭДС е(t) = Em sin(ωt + φ) B, частота 50 Гц. Модули сопротивлений элементов цепи Z1 = 10 Ом, Z2 = jXL = j30 Ом, Z3 =

=-jXC = -j40 Ом , Z4 = jXL = j50 Ом, Z5 = 60 Ом, φ= -60°, n = 15, Em = 180 B

б) Требуется

1. Составить по законам Кирхгофа в комплексной форме систему алгебраических уравнений.

2. Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи методом эквивалентных  преобразований. При оформлении работы привести все схемы, полученные методом эквивалентных преобразований.

3.Записать значения найденных комплексов токов и комплексов напряжений

на всех участках цепи в алгебраической и показательной форме. Перейти от комплексов токов и напряжений к их мгновенным значениям и записать их.

4. Проверить баланс активных и реактивных мощностей.

5. Определить показания амперметра, вольтметра и ваттметра.

6. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

7. Для одной из ветвей схемы определить ток методом эквивалентного генератора. 

Схема электрической цепи

1.  Составление системы уравнений по законам Кирхгофа  

1.1  Выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Составим систему уравнений для комплексов действующих токов и напряжений

I2 – I1 – I3 = 0                                                                    

I3 – I4 – I5 =0

      I1Z1 + I2Z2 =E  

I2Z2 + I3Z3 + I4Z4 = E

-I4Z4 + I5Z5 = 0

Решением данной системы является вектор - столбец

2.  Расчет электрической цепи.

2.1 Вычисление  Zэкв

Z45 = Z4Z5/ ( Z4 + Z5 ) = (j50 60 ( 60 –j50))/(60 + j50) (60 – j50) = 24.59 + j29.5= 38.41ej50.19°  Ом

Z45 = 38.41ej50.19º Ом

 

 

 

Z345 = Z3 + Z45 = -j40 + 24.59 + j29.5 = 24.59 – j10.5 = 26.73e-j25.67º Ом

Z345 = 26.73e-j23.12º Ом

Z1345 = Z345Z1 / ( Z1 + Z345) = 10 (24.59 – j10.5) / (24.59 – j10.5 + 10 ) = 7.35 – j0,8 =

= 7.39e-j6,2º Ом

Z1345 = 7.39e-j6,2º Ом

Z21345 = Z2 + Z1345 = 7.35 – j0,8 + j30 = 7.35 + j29,2 = 29.33ej75.87º Ом

Z21345 = Zвх

Z21345 = 29.33ej75.87º Ом

2.2 Вычисление всех токов и  напряжений

I2 = E / Zвх = E / Z21345 = 128.00e-j60º / 29.33ej75.87º = 4.36e-j135.87º A = ( - 3,12 – j3.0) A

U2 = I2Z2 = 4.36e-j135.87º 30.00ej90 = 130.80e-j45.87º B = ( 91.80– j93.9 ) B

По второму закону Кирхгофа имеем

E = U1 + U2 ,  тогда  U1 = EU2 = (64.00 – j110.9) – ( 91.80 – j93.9 ) = -27.80 –       j17.0=32.59e-j135.87ºB

I1 = U1 / Z1 = 32.59e-j135.87º / 10 = 3.30e-j148.55º A = ( -2.43– j1.9 ) A

По первому закону Кирхгофа имеем

I2 – I3 – I1 = 0 , тогда   I3 = I2 – I1  = ( -3,12 – j3.0) – (-2.43 – j1.9) = ( -0.69 – j1.1) A =

= 1.30e -j122.10º A

U3 = I3Z3 = 1.30e-j122.10º 40.00e-j90.00º = 52.00e -j212.10º B = ( -44.05 + j27.6) B

По второму закону Кирхгофа имеем

E = U2 + U3 + U4 , тогда  U4 = E – U2 – U3 ;

U4 = (64.00 – j110.9) – (91.80 – j93.9) – (-44.05 + j27.6) = ( 16.25 – j44.6) B =

 = 50.40e-j69.98º B

I4 = U4 / Z4 = 47.47e-j69.98º / 50ej90.00º = 0.95e-j159.98º A = (-0.93 – j0.3) A

По первому закону  Кирхгофа

I3 – I4 – I5 = 0  , тогда  I5 = I3 – I4 =  ( -0.69 – j1.1) – ( -0.93 - j0.3) = ( 0,24 – j0.8) A =

= 0.84e -j73.30º A

U5 = I5Z5 = 0.84e -j73.30º 60.00 = 50.40e -j73.30º B = ( 14.48 – j48.3) B

3.                                                   Таблица значений

Алгебраическая

форма

Показательная

форма

Мгновенные

значения

I1

-2.43 – j1.9

3.30e-j148.55º

i1=4.67sin(

ωt – 148.55°) A

I2

        -3.12 – j3.0

4.36e-j135.87°

i2=6.17sin(ωt-

-135.87°)A

I3

       -0.69 – j1.1

1.30e -j122.10°

i3=1.84sin(ωt –

-122.10°) A

I4

      -0.93 –j0.3

0.95e-j159.98°

i4=1.34sin(ωt –

- 159.98°) A

I5

        0.24 - j0.8

0.84e -j73.30°

i5=1.19sin(ωt-

-73.30°) A

U1

       -27.80 – j17.0

32.59e-j148.55°

u1=46.09sin(ωt-

-148.55°) B

U2

        91.80 – j93.9

130.80e-j45.87°

u2=184.98sin(

ωt-45.87°) B

U3

        -44.05 + j27.6

52.00e -j212.10°

u3=73.54sin(ωt-

- 212.10°) B

U4

        -16.25 –j44.6

50.40e-j106.7°

u4=71.18sin(

ωt -106.70°) B

U5

         14.48 – j48.3

50.40e-j73.30°

u5=71.28sin(

ωt- 73.30 °) B

4. Проверка баланса активных и реактивных мощностей

EIист = Zk Ik2  

Iист = I2 = 4.36ej135.87° A

Полная мощность источника

EIист = Pист + jQист = 128,00e-j60° 4.36ej135.87° = 558ej75.87° = (136 + j541) Вт

Полная мощность приемников в цепи

ZkIk2 = Pпр + jQпр = 9.5 10 + j30 18.7 + (-j40) 1.7 + 1 j50 + 60 0.7 = 95 + 561jj68 + j50 + 42 = 137 + j543

P = ( PистPпр) 100% / Pист = (136 – 137)  100%/ 136 = 0.74%

Q = (Qист Qпр) 100% / Qист = (j541 – j543) 100% / j541 = 0.37%

 

5.Определение показаний приборов

Амперметр показывает действующее значение тока

IА = I2 = 3.87 A

Вольтметр показывает действующее значение напряжения

Uv = U4 = 50.40B

Показания ваттметра определим  произведением действующих значений тока на напряжения и на косинус угла сдвига фаз между ними.

Pw = U1I3cos( 26.40°) = 32.6 1.3 0.89 = 37.45Bт

6.Определение тока в одной из ветвей методом эквивалентного генератора

( ЭГ)

Ветвь abразмыкаем.

EЭГ = Uab х.х. = Z4I3

Z34 = Z3 + Z4 = -j40 + j50= j10

I2 = E / (Z34Z1 / Z34 + Z1)  + Z= 128.00e-j60 / (j10 10 / j10 + 10) + j30 = -1.00 + j0.31 = 1.05e-j160.92° A

I2 = E / Zвх ; Zвх = E / I2 = 128e-j60° / 1.05e-j160.92° = 121.9ej100.92 Ом

I3 = U1 / Z3 = Z34Z1I2 / (Z34 + Z1) (Z3 + Z4) = Z1I2 / (Z34 + Z1)  = 1,05ej55.92°

EЭГ = Z4I3 = 50ej90° 1.05ej55.92° = 52.50ej145.9° B = -34.67 + j39.44

Похожие материалы

Информация о работе