Составление системы уравнений по законам Кирхгофа. Расчет электрической цепи. Проверка баланса активных и реактивных мощностей

Постановка задачи

а) Исходные данные

В цепи действует источник синусоидальной ЭДС е(t) = E_m sin(ωt + φ) B, частота 50 Гц. Модули сопротивлений элементов цепи Z₁ = 10 Ом, Z₂ = jX_L = j30 Ом, Z₃ =

=-jX_C = -j40 Ом , Z₄ = jX_L = j50 Ом, Z₅ = 60 Ом, φ= -60°, n = 15, E_m = 180 B

б) Требуется

1. Составить по законам Кирхгофа в комплексной форме систему алгебраических уравнений.

2. Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи методом эквивалентных  преобразований. При оформлении работы привести все схемы, полученные методом эквивалентных преобразований.

3.Записать значения найденных комплексов токов и комплексов напряжений

на всех участках цепи в алгебраической и показательной форме. Перейти от комплексов токов и напряжений к их мгновенным значениям и записать их.

4. Проверить баланс активных и реактивных мощностей.

5. Определить показания амперметра, вольтметра и ваттметра.

6. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

7. Для одной из ветвей схемы определить ток методом эквивалентного генератора. 

Схема электрической цепи

1.  Составление системы уравнений по законам Кирхгофа  

1.1  Выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Составим систему уравнений для комплексов действующих токов и напряжений

I₂ – I₁ – I₃ = 0                                                                    

I₃ – I₄ – I₅ =0

      I₁Z₁ + I₂Z₂ =E  

I₂Z₂ + I₃Z₃ + I₄Z₄ = E

-I₄Z_{4 +} I₅Z₅ = 0

Решением данной системы является вектор - столбец

2.  Расчет электрической цепи.

2.1 Вычисление  Z_экв

Z₄₅ = Z₄Z₅/ ( Z₄ + Z₅ ) = (j50 60 ( 60 –j50))/(60 + j50) (60 – j50) = 24.59 + j29.5= 38.41e^j50.19°  Ом

Z₄₅ = 38.41e^j50.19º Ом

 

 

 

Z₃₄₅ = Z₃ + Z₄₅ = -j40 + 24.59 + j29.5 = 24.59 – j10.5 = 26.73e^-j25.67º Ом

Z₃₄₅ = 26.73e^-j23.12º Ом

Z₁₃₄₅ = Z₃₄₅Z₁ / ( Z₁ + Z₃₄₅) = 10 (24.59 – j10.5) / (24.59 – j10.5 + 10 ) = 7.35 – j0,8 =

= 7.39e^-j6,2º Ом

Z₁₃₄₅ = 7.39e^-j6,2º Ом

Z₂₁₃₄₅ = Z₂ + Z₁₃₄₅ = 7.35 – j0,8 + j30 = 7.35 + j29,2 = 29.33e^j75.87º Ом

Z₂₁₃₄₅ = Z_вх

Z₂₁₃₄₅ = 29.33e^j75.87º Ом

2.2 Вычисление всех токов и  напряжений

I₂ = E / Z_вх = E / Z₂₁₃₄₅ = 128.00e^-j60º / 29.33e^j75.87º = 4.36e^-j135.87º A = ( - 3,12 – j3.0) A

U₂ = I₂Z₂ = 4.36e^-j135.87º 30.00e^j90 = 130.80e^-j45.87º B = ( 91.80– j93.9 ) B

По второму закону Кирхгофа имеем

E = U₁ + U₂ ,  тогда  U₁ = E– U₂ = (64.00 – j110.9) – ( 91.80 – j93.9 ) = -27.80 –       j17.0=32.59e^-j135.87ºB

I₁ = U₁ / Z₁ = 32.59e^-j135.87º / 10 = 3.30e^-j148.55º A = ( -2.43– j1.9 ) A

По первому закону Кирхгофа имеем

I₂ – I₃ – I₁ = 0 , тогда   I₃ = I₂ – I₁  = ( -3,12 – j3.0) – (-2.43 – j1.9) = ( -0.69 – j1.1) A =

= 1.30e ^-j122.10º A

U₃ = I₃Z₃ = 1.30e-^j122.10º 40.00e^-j90.00º = 52.00e ^-j212.10º B = ( -44.05 + j27.6) B

По второму закону Кирхгофа имеем

E = U₂ + U₃ + U₄ , тогда  U₄ = E – U₂ – U₃ ;

U₄ = (64.00 – j110.9) – (91.80 – j93.9) – (-44.05 + j27.6) = ( 16.25 – j44.6) B =

 = 50.40e^-j69.98º B

I₄ = U₄ / Z₄ = 47.47e^-j69.98º / 50e^j90.00º = 0.95e^-j159.98º A = (-0.93 – j0.3) A

По первому закону  Кирхгофа

I₃ – I₄ – I₅ = 0  , тогда  I₅ = I₃ – I₄ =  ( -0.69 – j1.1) – ( -0.93 - j0.3) = ( 0,24 – j0.8) A =

= 0.84e ^-j73.30º A

U₅ = I₅Z₅ = 0.84e ^-j73.30º 60.00 = 50.40e ^-j73.30º B = ( 14.48 – j48.3) B

3.                                                   Таблица значений

	Алгебраическая форма	Показательная форма	Мгновенные значения
I1	-2.43 – j1.9	3.30e-j148.55º	i1=4.67sin( ωt – 148.55°) A
I2	-3.12 – j3.0	4.36e-j135.87°	i2=6.17sin(ωt- -135.87°)A
I3	-0.69 – j1.1	1.30e -j122.10°	i3=1.84sin(ωt – -122.10°) A
I4	-0.93 –j0.3	0.95e-j159.98°	i4=1.34sin(ωt – - 159.98°) A
I5	0.24 - j0.8	0.84e -j73.30°	i5=1.19sin(ωt- -73.30°) A
U1	-27.80 – j17.0	32.59e-j148.55°	u1=46.09sin(ωt- -148.55°) B
U2	91.80 – j93.9	130.80e-j45.87°	u2=184.98sin( ωt-45.87°) B
U3	-44.05 + j27.6	52.00e -j212.10°	u3=73.54sin(ωt- - 212.10°) B
U4	-16.25 –j44.6	50.40e-j106.7°	u4=71.18sin( ωt -106.70°) B
U5	14.48 – j48.3	50.40e-j73.30°	u5=71.28sin( ωt- 73.30 °) B

4. Проверка баланса активных и реактивных мощностей

EI_ист = Z_k I_k²  

I_ист = I₂ = 4.36e^j135.87° A

Полная мощность источника

EI_ист = P_ист + jQ_ист = 128,00e^-j60° 4.36e^j135.87° = 558e^j75.87° = (136 + j541) Вт

Полная мощность приемников в цепи

Z_kI_k² = P_пр + jQ_пр = 9.5 10 + j30 18.7 + (-j40) 1.7 + 1 j50 + 60 0.7 = 95 + 561j – j68 + j50 + 42 = 137 + j543

P = ( P_ист – P_пр) 100% / P_ист = (136 – 137)  100%/ 136 = 0.74%

Q = (Q_ист – Q_пр) 100% / Q_ист = (j541 – j543) 100% / j541 = 0.37%

 

5.Определение показаний приборов

Амперметр показывает действующее значение тока

I_А = I₂ = 3.87 A

Вольтметр показывает действующее значение напряжения

U_v = U₄ = 50.40B

Показания ваттметра определим  произведением действующих значений тока на напряжения и на косинус угла сдвига фаз между ними.

P_w = U₁I₃cos( 26.40°) = 32.6 1.3 0.89 = 37.45Bт

6.Определение тока в одной из ветвей методом эквивалентного генератора

( ЭГ)

Ветвь abразмыкаем.

E_ЭГ = U_{ab х.х.} = Z₄I₃

Z₃₄ = Z₃ + Z₄ = -j40 + j50= j10

I₂ = E / (Z₃₄Z₁ / Z₃₄ + Z₁₎  + Z₂  = 128.00e^-j60 / (j10 10 / j10 + 10) + j30 = -1.00 + j0.31 = 1.05e^-j160.92° A

I₂ = E / Z_вх ; Z_вх = E / I₂ = 128e^-j60° / 1.05e^-j160.92° = 121.9e^j100.92 Ом

I₃ = U₁ / Z₃ = Z₃₄Z₁I₂ / (Z₃₄ + Z₁) (Z₃ + Z₄) = Z₁I₂ / (Z₃₄ + Z₁)  = 1,05e^j55.92°

E_ЭГ = Z₄I₃ = 50e^j90° 1.05e^j55.92° = 52.50e^j145.9° B = -34.67 + j39.44