Исследование математической модели вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы

вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы. Математическая модель служит для исследования колебательной системы и определения различных режимов колебаний.

Если t≤ t, то действия повторяется, начиная с пункта 6; если t >t, то вычисления завершаются.

Например, требуется определить динамическую реакцию двух массовой не демпфированной колебательной модели рис. 1а,б подверженный воздействию постоянной силы. Колебательный процесс такой модели описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка:

           mu+ k(u-u)=0;

mu- k(u-u)+ku=q;  где u│= u│=0;  u│= u│=0;

или в матричной форме

Mu+Ku=p,

Где

m=10; m=10; k=10; k=10; q=10.

Изложенная выше последовательность действий по θ – методу Вильсона при наблюдении за данной моделью с момента времени t=0 до t=25 (шаг дискретизации h=1 c.) содержится в БЕЙСИК-программе. Смысл принятых обозначения в алгоритме и программе представлен в приложениях.

1.  С помощью математического моделирования получаем эталонные графики колебательных процессов для математической модели материальной точки  при определённых (оптимальных) значениях коэффициентов жесткости пружины и различных значениях масс, соответствующих определённой статической нагрузке.

2.  Расчётным путём определяются все необходимые параметры.                          3.    Строятся сводные графики полученных расчетов.

4.    Производим аппроксимацию функций.

а)                                                    б)

EF

                                                                                                    a

P

k

			m

y

EF                    a

P                                  

k

Рис. 1 Двух массовая не демпфированная колебательная модель (а) и её конечно-элементный аналог (б).

2.2. Исходные данные и результаты

                                  Задача № 1

2.3. Общая графическая схема решения задачи и ее описание.

                      Рис. 2 Графическая схема

Описание графической схемы решения

1. Присваиваем известным величинам их значения.

2. Решаем систему дифференциальных уравнений с помощью функции    rkfixed.

     3. Выводим матрицу решений.

4. Выводим графики изменения углов поворота от времени.

 5. Начало проведения опытов ( i – номер опыта )

6. Количество опытов равняется 7

 7. В каждом опыте длину звеньев математической модели.

 8. Вычисляем углы поворота в зависимости от изменений длин звеньев.

 9. Вывод графиков углов поворота как результата.

11. Изменяем номер опыта.

12. Выводим сводные графики зависимостей изменения углов поворота от изменений длин звеньев.мат.модели .

13. Выводим аппроксимирующую зависимость.

14. Конец. [Рис. 2 ]

 2.4. Планирование исследований.

При решении задачи необходимо провести ряд опытов в которых исследуется влияние изменения длин звеньев математической модели на графики углов поворота  механизма.

3. Описание документа исследования.

3.1. Описание документа исследования.

При помощи системы MathCAD были проведены исследованияматематической модели вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы. Использование системы MathCAD позволило значительно облегчить решение сложных математических задач.

Документ содержит теоретические выкладки из курса математики, теоретических основ механики, ТММ, основ математического моделирования (Пункт 1)

Постановку и алгоритмический анализ задачи (Пункт 2)

Описание документа  и исследования (Пункт 3)

В пункте  приложение  стр.  выполнено решение задачи и проведение исследований.

В приложении стр. реализовано решение задачи и расчет перемещения, скорости и ускорения математической модели.

Это производилось с помощью переменной ORIGIN. Которая определяет начальный номер элементов в массиве, независимо с какого начального значения он определен с помощью дискретной переменной. ORIGIN:=1 означает, что каждый массив будет начинаться с номера один.

Система дифференциальных уравнений представляется в виде D (t,φ) приложение  стр.  .Она решается при помощи стандартной функции rkfixed , которая ищет решения при помощи метода Рунге – Кута со стандартным шагомW:= rkfixed (φ,0,50,1000,D)

Где φ – вектор начальных условий

0,50 – интервал времени

1000 – число точек в которых ищется решение

D (t,φ) – вектор функция содержащая первые производные неизвестной функции

Затем выводим матрицу решений в виде  W := [   ] приложение     стр.     которая содержит в себе три столбца. Первый отражает время, второй , третий углы поворота. После чего, для наглядности, строятся, графики углов поворота от времени приложение    стр.    . Для этого задается дискретная переменная i :=1…200.

При определении ускорения приложение  стр.  полученные результаты подставляем в исходную формулу для ускорения. Вместо

φ ₁ – подставляем (W^<1>)_I , вместо φ₂ – подставляем (W^<2>)_I

    После выполнения данных расчетов производим 7 опытов приложение   стр.   , для исследования влияния длин звеньев на изменение углов поворота материальной модели. В каждом опыте изменяем длину звеньев всего механизма. Дифференциальное уравнение и матрица начальных условий остаются теми же. Решения представляются графически. Из графиков становится видно изменение периода и амплитуды колебаний приложение    стр.   .

     После проведения всех опытов строится сводный график, который дает полную визуальную информацию о математической модели приложение    стр.   .

По результатам опытов строится аппроксимирующая функция. Для чего задаются вектора  Cr и Ac приложение   стр.    .

После чего находятся максимальные амплитуды перемещения , для чего строится вектор S.

Проводим аппроксимацию по методу наименьших квадратов при помощи функции pspline  приложение   стр.      . Задаются дискретные переменные      i :=0..10     и      v := 0..10

Точечная зависимость максимальных амплитуд от длины строится в i точках, а аппроксимация в v точках.

Все эти функции вычисляют вектор коэффициент вторых производных исходной функции заданной таблично.

Для получения инерполяции функции применяется стандартная функция вида:       TP (r) := interp (K,Cr,Ac,v)

Где – Cr ,Ac –те же значения

К – вектор коэффициент вторых производных сплайн интерполяции

Строится аппроксимирующая функция на одном поле с зависимостью