Методика автоматизированного проектирования ультразвуковых излучателей. Расчет ультразвуковых излучателей кавитационной ванны, страница 2

Для расчета ультразвукового трансформатора скорости, роль которого в рассматриваемой схеме выполняет ступенчатый концентратор, воспользуемся общей формой уравнения продольных колебаний (2.1). Поскольку и в данном случае справедливо допущение о том,   что концентратор имеет собственную частоту и осуществляет гармонические колебания,  решение  уравнения (2.1) можно представить в виде

  .            (2.17)

С целью упрощения будем считать, что концентратор колебаний и прилегающая к нему  накладка  пьезоэлектрического преобразователя изготовлены из одного материала. Как правило, для уменьшения потерь они и выполняются как одно целое.

Аналогично  для цилиндра, эквивалентного по массе алмазной выглаживающей головки с элементами крепления к концентратору колебаний, можно записать

,                         (2.18)

где  с₄    - скорость        звука  в  материале  цилиндра,  эквивалентного  по массе выглаживающему инструменту с элементами крепления.

Граничные условия для колебательной системы с началом координат в точке  O₂   могут быть записаны как

 

    при    ;                                      (2.19)

                                      при  ;                      (2.20)

                                          при    ,                                       (2.21)

где   E₄ - модуль упругости на растяжение материала конструктивного элемента выглаживающей головки; S₃  и  S₄  - площади поперечного сечения малой по диаметру ступни концентратора и эквивалентного цилиндра соответственно; a₂  - длина ступени малого диаметра концентратора;   b - высота эквивалентного цилиндра.

При условии (2.19) из уравнения (2.17) получаем

 ;

                                         .                                                     (2.22)

Учитывая первую часть условия (2.20),  из уравнений (2.17) и (2.18) получим

                                                       .                                                        (2.23)

Вторая часть условия (2.20) может быть преобразована к виду

                                         .                                             (2.24)

 

Условие (2.21) позволяет из уравнения (2.18) получить

 .

            Откуда имеем

                                                .                                                 (2.25)

            Тогда, с учетом (2.24), можно записать

            или, учитывая равенство (2.23), получим

  .                                        (2.26)

            Откуда можно записать

  .                                      (2.27)

 

Длину ступени большего диаметра концентратора определим из выражения (2.27),  учитывая, что,   вследствие отсутствия на  конце ступенчатого концентратора   нагрузки в виде алмазной выглаживающей головки с элементами крепления,   и  :

                                                   .                                           (2.28)

Для трансформатора скорости с 1/2 - волновой акустической системой, когда длина одной ступени равняется  1/4   и   ,  имеем

 , или

  .                                                 (2.29)

Для цилиндра, эквивалентного по массе выглаживающей головке с элементами крепления, можно записать

   .                                         (2.30)

Тогда

                                .                                      (2.31)

б)  3/4 - волновой ультразвуковой вибрационный привод

Колебательная система такого привода имеет одну возможную точку крепления, что позволяет уменьшить длину привода на 1/4 акустической волны [2]. Для возможности жесткого крепления пьезоэлектрический составной преобразователь в такой схеме обычно выполняют несимметричным (рис.2.3). При этом ступень меньшего диаметра трансформатора скорости с инструментом выглаживания присоединяют непосредственно к пучности колебаний, которая находиться на торце составного преобразователя. Поэтому эту ступень следует рассматривать в качестве нагрузки пьезоэлектрического преобразователя, что соответственно накладывает особенности на расчет одной из его частотопонижающих накладок.

Для случая гармонических колебаний привода в соответствии с расчетной схемой (рис.2.3) решение  общего уравнения (2.1) продольных колебаний можно записать в виде

,                 (2.32)

.                 (2.33)

Граничные условия в соответствии расчетной схемой можно представить как