Факторное пространство. Достаточность числа поворотов.

тогональную матрицу поворота, предусматривающую корреляционные связи латентных факторов.

Вопрос достаточности числа поворотов пространства факторов может решаться субъективно, построением графиков распределений наблюдаемых объектов в пространстве повернутых факторов — это наиболее трудоемкий путь, или аналитическими средствами, с использованием специальных критериев для оценки структуры общих факторов. Все критерии конструктивно базируются на представлении величины дисперсии факторных нагрузок как меры сложности структуры факторов. Дисперсия рассчитывается по формуле:

где a_jk — элементы матрицы факторного отображения, величины факторных нагрузок;

г — число общих факторов.

Величина дисперсии будет максимальной, когда одно из значений квадратов нагрузок равно общности h у, а в методе главных компонент — единице, и все остальные элементы в строке нулевые. Название критериев качества структуры общих факторов определяет название самого метода вращения.

В ортогональном преобразовании факторного пространства наиболее популярны критерии:

• Квартимакс — критерий вычисляется по формуле:

Метод «квартимакс» предусматривает вращение факторных осей таким образом, чтобы величины факторных нагрузок максимизировали д, одновременно учитывается качество структуры всех участвующих в анализе общих факторов.

• Варимакс — рассчитывается V_r критерий качества структуры каждого фактора:

При помощи метода «варимакс» достигают максимального упрощения в описании столбцов матрицы факторного отображения. Возможно раздельное улучшение структуры факторов. Наилучшим здесь также будет максимальное значение критерия, как и в предыдущем случае.

Если в анализе используется косоугольное вращение пространства факторов, то наиболее часто пользуются критериями облимакс, квартимин, облимин.

• Облимакс — критерий имеет вид:

Решение методом «облимакс» направлено на максимизацию критерия К, оценивается улучшение элементов структуры a_jk каждого общего фактора и по всем г факторам.

• Квартимин — метод, минимизирующий W-критерий:

где a_jk — как и раньше, элементы матрицы факторных нагрузок;

/V^й А? ~ элементы матрицы косоугольного преобразования Р,

f,g— векторы, задающие вращение А:-го общего фактора;

^ajk Pkf, ^{и a}jk Pkq — элементы матрицы факторного отображения после косоугольного поворота.

• Облимин — метод, использующий Я-критерий достаточно сложной конструкции, являющейся производной взвешенной величиной от двух других критериев качества косоугольного вращения: квартимина и коваримина —

где ос и р — специальные параметры^ определяемые в интервале от нуля до единицы и задающие степень косоугольное™ системы факторов.

Предположительно (по Кэроллу) часто наилучшие результаq

ты получают при соотношении: —— = 0,5.

сс+р

Я-критерий при поиске оптимальной структуры факторов минимизируется.