Случайные процессы.Элементы спектральной теории. Стационарные процессы. Марковские процессы.

Задачи к экзаменационным билетам

III. Вероятностные характеристики СП

1.1. Случайная функция  задана в виде , где  - независимые с.в. непрерывного типа с плотностями распределений вероятностей  соответственно. Найти одномерное распределение СП , , .

1.2. , , и с.в. . Найти одномерную функцию распределения и одномерную плотность процесса .

1.3. Найти одномерную функцию распределения пуассоновского процесса  с параметром  и вероятность того, что за время  произойдет четное число скачков.

1.4. Дана ковариационная функция СП , . Найти , , если .

1.5. СП  задан в виде , где  - неслучайная функция,  - с.в. непрерывного типа с плотностью вероятностей . Записать выражения для , .

1.6. Найти одномерную плотность распределения, МО и дисперсию случайного гармонического колебания  с постоянной амплитудой  и частотой  и случайной фазой , равномерно распределенной на отрезке .

1.7. Случайное гармоническое колебание задано в виде  , где    - неслучайная частота, а случайные амплитуды  и  независимы и подчиняются каждая закону распределения . Найти одномерную и двумерную плотности процесса.

1.8. СП  есть величина интервала времени между двумя последовательными скачками пуассоновского процесса  с параметром . Найти одномерную плотность процесса .

1.9. Угол крена корабля представляет собой нормальный СП , , . Известно, что в момент времени  угол крена корабля составляет . Какова вероятность того, что в момент  угол крена корабля будет больше, чем  градусов?

1.10. Пусть  - скалярные с.в. с числовыми характеристиками , ,  , , . Определить МО и ковариационную функцию СП , , , постоянна.

1.11. Постройте семейство реализаций СП , ,  - скалярная с. в., распределенная по закону Пуассона с параметром . Найти МО и дисперсию СП.

1.12. Пусть известны числовые характеристики двумерного случайного вектора . Найдите МО дисперсию и ковариационную функцию СП .

1.13. Найти МО, дисперсию и ковариационную функцию и одномерный закон распределения СП ,  - независимые скалярные с.в., распределенные по нормальному закону с нулевым МО и дисперсией .

IV. Стационарные процессы

2.1. Докажите, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.

2.2. Является ли винеровский процесс гауссовским? Марковским?

2.3. Докажите, что пуассоновский процесс является Марковским.

2.4. Определите  - мерный закон распределения пуассоновского процесса.

2.5. Является ли скалярный процесс , где  и  - некоррелированные с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковой дисперсией, равной , стационарным    а) в узком смысле?    б) в широком смысле?

2.6. Решить задачу 2.5., если известна совместная функция плотности вероятностей с.в.  и  :     .

2.7. Является ли СП , стационарным в широком смысле, если  - стационарный СП и а) для любого фиксированного  случайные векторы  и  являются независимыми; б) .

2.8. Пусть  - скалярный нормальный стационарный в узком смысле СП. Найдите одномерную и двумерную функции плотности вероятностей этого СП.

2.9. Пусть  - пуассоновский стационарный скалярный СП с нулевым МО и известной ковариационной функцией . Определите МО СП  считая  параметром.

2.10. Пусть ,  - винеровский СП, выходящий из нуля и имеющий единичный коэффициент диффузии. Докажите, что .

2.11. СП  является случайным гармоническим колебанием: , где  - случайная амплитуда с плотностью распределения вероятностей  (равна нулю при ) такая, что существует второй начальный момент ,  - независимая от  случайная фаза, распределенная равномерно на отрезке . Является ли данный процесс стационарным в широком смысле?

2.12. Показать, что если  - нормальный стационарный в широком смысле дифференцируемый СП, то процесс  также нормальный стационарный в широком смысле. Найти , если .

V. Элементы стохастического анализа

3.1. Можно ли утверждать, что предел с.ф. обладает обычными свойствами предела неслучайной функции?

3.2. Можно ли утверждать, что предел последовательности с.в. обладает обычными свойствами предела последовательности?

3.3. Доказать, что линейная комбинация и произведение СК непрерывных на Т скалярных СП – СК непрерывные на Т скалярные СП.

3.4. Пусть  - некоррелированные с.в. и Доказать, что последовательность с.в.  сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся числовые ряды .

3.5. Пусть  скалярные СП, причем

. Доказать, что

3.6. Пусть - двумерный винеровский процесс, выходящий из нуля. Пусть . Доказать, что существует где .

3.7. Будет ли СК дифференцируемым на Т   случайный процесс

- с.в. распределенная равномерно на отрезке .

3.8. Пусть - с.в., распределенная по равномерному  закону на отрезке . Является ли:

а) СП , СК дифференцируемым?

б) произвольная реализация СП , дифференцируемой?

3.9. Пусть , где - некоррелированные с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, равными 0,1. Найти МО, дисперсию и ковариационную функцию СП .

3.10. Найти , если , , ,  .

3.11. СК дифференцируемый СП , имеет МО  и ковариационную функцию . Найти МО и ковариационную функцию СП .

3.12. Пусть - стационарный в широком смысле СП, дифференцируемый на Т.

3.13. Является ли стационарным в широком смысле СП ?

3.14. Доказать, что производная гауссовского процесса - гауссовский процесс.

3.15. Пусть , - стационарный в широком смысле СП с ковариационной функцией