Случайные процессы. Метод импульсных характеристик

3. Методические указания к выполнению задания.

1.  Типовой расчет выполняется на бумаге формата А4, записи ведутся на лицевой стороне, титульный лист оформляется по установленному в университете образцу.

2.  Все интегралы в типовом расчете считать с использованием основной теоремы о вычетах, не прибегая к помощи таблиц и справочников.

3.  Вычисления проводить для двух случаев,  и  (-параметр передаточной функции,  - параметр входного сигнала).

4.  Вычисления проводить дважды: методами частотных и импульсных характеристик.

5.  Там, где необходимо, использовать представление  - функции интегралом Фурье  и определяющими эту функцию свойствами , .

4. Теоретические сведения

Рассмотрим линейную систему, описываемую дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

,   (1)

где ,  - оператор дифференцирования, - входной сигнал (реализация стационарного случайного процесса),  - сигнал на выходе системы. В изображениях по Лапласу уравнение (1) имеет вид

,                                                                            (2)

где  - передаточная функция фильтра, , . Если , то  - импульсная функция фильтра, при этом, в силу , имеем , т.е.

                                                                             (3)

Если система устойчива ( абсолютно интегрируема, все полюсы  лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости ), то  и  связаны преобразованием Фурье,

 ,                                                                                    (4)

.                                                                               (5)

Для физически реализуемых систем  при .

Пусть  - стационарный процесс с нулевым средним , ковариационной функцией  и спектральным представлением

                                                                                          (6)

Функция интенсивности  процесса  называется спектральной плотностью процесса  и связана с  преобразованием Фурье (формулами Винера-Хинчина):

                                                                                  (7)

                                                               (8)

Согласно (2), (6) процесс  на выходе системы записывается в виде стохастического интеграла . Поэтому

 ,                                                                                 (10)

,                                                                                 (11)

Взаимная ковариационная функция стационарно связанных процессов  и  определяется выражением [2, стр.252]

.   (12)

Чтобы записать выражения  для  и  в терминах импульсной функции , вместо (6) и (9) используют представления  и  в виде среднеквадратических интегралов

,                                                                                (13)

                                                                                  (14)

Из (13), (14) следует, что

 ,                                              (15)

.             (16)

Положив , можем записать (12) и (16) в виде

                                                                 (17)

,                                                                 (18)

где

                                                                                  (19)

Отметим, что, в общем случае, взаимная ковариационная функция не является четной.

Из (9), (14) получаем выражения для среднего процесса ,

                                                              (20)

а из (10), (15) - для его дисперсии,

                                                                                             (21)

                                                       (22)

Интервал корреляции  случайного процесса  вычисляется по формуле

.                                                                         (23)

Ковариационную функцию производной  находим, дважды дифференцируя ,

,                                                                             (24)

а дисперсию  - по формулам

                                                                            (25)

.                                                                                        (26)

5. Решение типового варианта.

Случайное напряжение  подается на вход системы

с выхода которой снимается случайное напряжение .

Вычисление  и

Согласно (2), (4) при  имеем

, 

Положим , . Используя основную теорему о вычетах [5], согласно (5) находим

                              (24)

Указание. При нахождении вычета функции вида  с полюсом  кратности  использовать формулу . В частности, в (24) , , .

Вычисление

Согласно (8) находим

Отдельно рассмотрим варианты  и .

Случай . Метод частотных характеристик. Согласно (11) имеем

.

Функция  имеет в верхней полуплоскости два простых полюса,  и . Следовательно, согласно (10) при  получаем

,           .

Интегрируя аналогичным образом при  и объединяя полученный результат с предыдущим, получаем окончательный результат

,        ,

Указание. При  использовать формулу , а при  - формулу .

Наконец, согласно (21) находим дисперсию сигнала на выходе системы,

.

Метод импульсных характеристик. Согласно (15) при  имеем

.  

С учетом четности  результат вычислений совпадает с полученным выше. Далее по формуле (22) получаем

, что опять совпадает с предыдущим результатом.

График функции  представлен на рис. 1. В точке  функция имеет гладкий максимум.

Рис. 1. Ковариационная функция , .

Случай . Метод частотных характеристик. Функция

имеет в верхней полуплоскости полюс  кратности . Следовательно, при  получаем

.

Объединяя этот результат с результатом интегрирования при , заключаем, что

.

Указание. При нахождении вычета функции  относительно полюса  кратности  использовать формулу [5,6,8]

Метод импульсных характеристик. Используя соотношение (15), при  получаем

,

Рис. 2. Функция  

что приводит к тому же результату, что и выше. График функции  при  представлен на рис.2. В точке  она имеет гладкий максимум, равный

.

Вычисление .

Случай . Метод частотных характеристик. Функция

имеет в верхней полуплоскости два полюса,  и , а в нижней полуплоскости – один полюс . Следовательно, при  получаем

.

Если , то

.

Метод импульсных характеристик. Вычисления согласно (17) при  дают следующий результат:

.

При  по той же формуле (17) получаем

.

Случай . Метод частотных характеристик. Функция 

имеет в верхней полуплоскости полюс  кратности 2, а в нижней – простой полюс . Следовательно, при  получаем

.

Если , то

.

Метод импульсных характеристик. Действуем так же, как в случае  (см. выше), но непосредственно перед интегрированием учитываем, что .

Вычисление

Случай . Поскольку  для всех , то согласно (23) получаем

Случай . В данном случае  и . Поэтому аналогично предыдущему находим

Отсюда видим, что оба выражения для  при  и  можно объединить в одно, а именно

.

Вычисление  

Процесс  непрерывен (в среднеквадратическом), так как функция