Разложение дисперсии в факторном анализе

в общем величины самих регрессионных коэффициентов с уменьшением числа предикторов колеблются незначительно. Но критерии надежности модели и ее параметров отличаются существенно и для а = 0,05 четыре уравнения, кроме первого, по /'-критерию нельзя считать адекватными реальным данным, с некоторой натяжкой исключение допустимо сделать для j>₃. Так же резко снижаются и значения /-критериев надежности регрессионных коэффициентов. Следует обратить внимание, что выводы о малой значимости главной компоненты F₄ по Х₄ ⁼ 0,344 подтверждаются и ее низкой /-оценкой в регрессионной модели. Для компоненты F₅ с Х₅ = 0,09 регрессионный критерий / = 11,6 указывает на ее существенность в уравнении, при решении вопроса об исключении F₅ следовало бы провести более глубокую логическую и критериальную проверку. В целом же на примере первой регрессионной модели (у_{)видно, что с помощью обобщенных факторных признаков (главных компонент) реально построить хорошую линейную регрессию с высокой адекватностью и значительной объясняющей способностью (Л² = 0,999).

Продемонстрированные примеры практического приложения метода главных компонент в кластерном и корреляционно-регрессионном анализе представляют в общем возможности и методов факторного анализа.

7.5. Разложение дисперсии в факторном анализе

Методы факторного анализа базируются на реальной оценке самой возможности исследования явлений. Здесь заранее при-, нимается, что общими факторами объяснить вариацию элемен тарных признаков на 100% нельзя, некоторая часть вариации ос тается скрытой характерностью изучаемого явления. Стандарта-^ зованное значение признака по /-му наблюдаемому объекту при этом представляется линейной зависимостью вида:                                   <

где  djj — латентный признак, обобщающий нераскрываемую, характерную вариацию элементарного признака;

а/ — весовой коэффициент при характерном факторе.

Уравнение функциональной зависимости Zy от F_r и D перепишем, введя обобщающий знак суммирования:

Как известно, дисперсия стандартизованной величины равна единице: D (zy) = 1, но одновременно Возведем в квадрат правую часть дисперсионного равенства:

Здесь запись произведений упрощается с учетом аксиом ор-тонормированного пространства, в котором:

При   условии  линейной   независимости   общих   факторов: ^rfkfi ⁼⁰' ^{в после}Д^нем равенстве выражение в скобках обращается в ноль, в итоге дисперсия стандартизованной величины раскладывается по оценкам дисперсии общих факторов и характерности:

Метод главных компонент может рассматриваться как частный от приведенного выше случай, когда

т

Назовем J^aj_r общностью, это доля общей дисперсии, котог=\

рая поддается объяснению через общие факторы. Обозначим ее