Метод конечных элементов

вычисляется через локальные матрицы жесткости и массы для одномерных конечных элементов.

Вычисление локальной матрицы массы :

(2.7)

локальная матрица массы для прямоугольных конечных элементов вычисляется через локальные матрицы массы для одномерных конечных элементов.

Таким образом, для вычисления компонент локальных матриц жесткости  и массы  на прямоугольных конечных элементах необходимо предварительно вычислить интегралы вида:

, , , , где X(x) и Y(y) – некоторым образом определенные на конечном элементе одномерные базисные функции.

Локальный вектор правой части  вычисляется с учетом того, что функция f на конечном элементе W_ij представлена в виде разложения по базисным функциям , где  – значения f в вершинах W_ij. Тогда .

2.4.Одномерные базисные функции

Рассмотрим вид базисных функций на отрезке [-1,1].

Линейные базисные функции:

                  (2.8)

Рассмотрим вид базисных функций на отрезке [0,1].

Линейные базисные функции:

                           (2.9)

3.Конечные элементы

3.1. Вычисление одномерных интегралов

Как уже было сказано выше, для вычисления компонент локальных матриц жесткости  и массы  на прямоугольных конечных элементах необходимо предварительно вычислить следующие интегралы :

  (3.1)                   (3.2)

Вычислив одномерные интегралы, можно приступить к вычислению локальных матриц в двумерном случае.

3.2. Вычисления локальных матриц

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                (3.3)

(3.4) 

Таким образом, мы получили вклады в глобальную систему от конечных элементов. Теперь необходимо получить аналогичные вклады от бесконечных элементов. 

4. Построение отображения

4.1.  Отображение бесконечной области

в конечную область

Сначала рассмотрим возможность отображения одномерной области (или элемента), начинающейся в некоторой точке с координатой , содержащей промежуточную точку с координатой  и продолжающегося до бесконечности в  (рис.1), в область  (рис.2).

Определим отображение формулой

                    (4.1)

      (4.2)

Это параметрическое отображение специально выбрано таким образом, чтобы данное выражение принимало бесконечное значение в точке 1 (т.е. при ) ; координата  пока что не определена.

Отметим, что в силу формулы (2.1) при

, если ,                   (4.3)

а при

               (4.4)

как и требуется; наконец, для точки которую нужно отобразить в точку , мы должны иметь

                    (4.5)

Это соотношение определяет координату  через  и , и мы сразу видим, что точка  лежит в центре отрезка .

Теперь отображение можно непосредственно записать через  и  как

,                 (4.6)

и требуемое отображение, таким образом, полностью определено.

Данное соотношение можно разрешить относительно ξ, выразив ξ через х, и, таким образом, обратное отображение определяется соотношением

           (4.7)

Если одномерное отображение бесконечного элемента найдено, то распространить его на случай двух измерений не составляет особого труда.

4.2.Выбор функций для реализации отображения

Хотя в (4.2) могут быть использованы многие другие виды функций, важно, чтобы выбранные для реализации отображения функции удовлетворяли соотношению

           (4.8)

Это условие тождественно выполняется для функций, определенных равенствами (4.2). Необходимость этого условия следует из достаточно очевидного требования, что отображение должно оставаться неизменным при сдвиге начала отсчета х. Иначе говоря, если мы сместим начало отсчета х на ∆х и запишем

           (4.9)

то требуется, чтобы для заданного ξ выполнялось равенство