Дифференциальные формы. Уравнения Максвелла.

Дифференциальные формы (уравнения Максвелла)

Как правило, законы физики описывают с использованием классического векторного исчисления. Эти законы как мы уже рассматривали, можно описать, использую альтернативный аппарат, а именно дифференциальные формы.

Они активно применяются в теоретической физике, но ещё не так активно используются математиками-прикладниками и инженерами.

Язык дифференциальных форм позволяет выражать законы физики независимо от любой конкретной координатной системы. Как правило, векторные конечные элементы пользуются дифференциальными формами очень активно. Представляет интерес: показать связь между векторными конечными элементами и дифференциальными формами.

Дифференциальные формы выражаются посредством процедур интегрирования. Форма степени p, или p-форма, есть выражение, которое появляется в p-кратных интегралах по области. Например, работа по перемещению единичного заряда электрическим полем определяется соотношением:

 - где величина подынтегрального выражения (интеграл по линии - линейный) есть 1-форма . Или полный ток, текущий через поверхность дается соотношением:

 - подынтегральное выражение в поверхностном интеграле есть 2-форма J. А полный заряд в объеме есть:

 - где подынтегральное выражение есть 3-форма. Скалярные функции ни положения в пространстве, также как электростатический потенциал , есть нуль-форма. Его интегрируют по области размерности нуль, т.е. по точке .

Дифференциальная форма есть обобщение традиционной векторной алгебры и векторных исчислений. Градиент, дивергенция и ротор  векторных исчислений заменяются одним дифференциальным оператором d, называемым внешней производной. Аналогично скалярное произведение и векторное произведение заменяются единственным внешним произведением. Термин «внешний» используется потому, что производная от p–формы не есть p–форма, она лежит вне (следовательно, внешняя) пространства p –форм. Аналогично, произведение двух p–форм не есть p–форма.

Уравнения Максвелла, выписанные с использованием аппарата дифференциальных форм, имеют вид:

                        (ı)

В (ı) -  D – плотность электрического потока (индукции), B – плотность магнитного потока – суть 2- формы; напряженность электрического(E) и магнитного(H) полей – суть 1-форма; плотность токов электрического(J) и магнитного(M) – это 2-формы; и плотность (объемная) электрического заряда    есть 3-форма.

Для простоты будем полагать проводимость (электрическую) равной нулю. Оператор d является однозначным (ясным), т.к. есть только один путь, чтобы продифференцировать p –форму, а именно, производная от p –формы есть p+1 –форма.

Тогда законы материальные, а именно , таковы, что  – это не простые скаляры, но скорее операторы, которые превращают (обращают) 2 – формы в 1 – формы. Эти операторы определяются метрикой пространства, в котором  (ı) - уравнения  Максвелла, определены таким образом, «мера» электрического поля(E) и магнитного поля(H) есть  и , где произведение определено однозначно, т.к. произведение p – формы и q –формы  есть (p+q)-форма. Следовательно,  и  представляют плотность электрической и магнитной энергии соответственно, которые являются 3 – формами. Умножая (ı.1) на E и (ı.2) на H получим:

         (ıı)

Выражение (ıı) есть теорема Пойнтитс о сохранении энергии. Произведение EH есть 2 – форма, которая представляет поток энергии, 3 – формы EJ и HM представляют плотность энергии, обеспечиваемой источниками.

В трехмерном пространстве есть четыре дифференциальные формы: 0 - форма, 1 – форма, 2 – форма, 3 – форма. Эти формы могут быть ассоциированы с Гильбертовыми пространствами. Связь между дифференциальными формами, Гильбертовыми пространствами, электромагнитными переменными и конечными элементами можно представить в виде таблицы.

Галеркинские формулировки уравнений Максвелла

Используем векторные конечные элементы  и  в качестве базисных функций для электрического поля  и магнитной индукции  соответственно.

Пусть – базисная функция, ассоциированная с ребром i и – базисная функция, ассоциированная с гранью i, тогда электрическое поле

, а магнитная индукция  .

В соответствии с определением  ( edge –элементы на тетраэдрах или шестигранниках (кубах)) и их степеней свободы ()  имеют физическую единицу – вольт и могут быть проинтерпретированы как напряжение (разность потенциалов) вдоль ребра i данной сетки. Аналогично определяется и , тогда степени свободы  имеют физическую единицу – вебер и могут быть проинтерпретированы как магнитный поток через грань i. Независимые источники тока(J –электрический, M –магнитный) также можно представить в виде линейной комбинации базисных функций:

;

.

Тестовые пространства  и  состоят из edge- и face – элементов для ребер и граней, не принадлежащих границе . Теперь, используя эти допустимое пространство и тестовое пространство, выпишем Галеркинские постановки.

Приведем две формы записи систем уравнений Максвелла: система уравнений 1-го порядка и уравнение второго порядка.  

1.  Уравнения первого порядка:

,   в ;

,         в ;

,   в ;

,   в ;

  на ;

;

;

2.  Уравнение второго порядка:

,   в ;

,   в ;

  на ;

;

;

Формулировка Галеркина для (1):

                       (**), где

;;

       ;;

;;

.

Представление (**) особенно важно тем, что первое уравнение включает слагаемое с матрицей K, а второе – с матрицей , следовательно дискретные уравнения имеют такую же гиперболичность, что и исходные уравнения Максвелла. Это свойство не присутствует в некоторых других методах, которые используют вариационные формы уравнений Максвелла. Это свойство обеспечивает стабильную, недиссипативную процедуру интегрирования по времени.

Матрицы C и G симметричны и положительно определены, и они могут быть проинтерпретированы как «матрица емкости» и «матрица индуктивности» на сетке соответственно. Матрицы S и P можно интерпретировать как электрическую и магнитную сеточную проводимости (матрица ).

Формулировка Галеркина для (2):

, где элементы матриц имеют вид:

,

,

,

.

Можно показать, что матрица , A- положительно определена и симметрична, сохраняется гиперболичность исходной системы уравнений.