“Whitney” элементы

“Whitney” элементы

Порядок (или степень Whitney(Уитни) элементов (УЭ)) определяется не порядком представляющих их полиномов, а «степенью (порядком)» симплекса, ассоциированного с этим элементом. Введем УЭ, ассоциированные с ребром, гранью и тетраэдром, и обозначим их соответственно:   ,   и . Введем обозначения: - ограниченная область трехмерного пространства (), с кусочно-гладкой границей ; разбита на тетраэдры (тетраэдральная сетка), которые, по принципу соседства, имеют либо общую грань, либо общее ребро, либо общий узел. Обозначим , , , - узлы, ребра, грани, тетраэдры соответственно, т.е. множество симплексов, размерности 0, 1, 2, 3, полученные на сетке m. Кроме списка узлов и их позиций сеточная структура данных содержит матрицу инциденций, определяющую: какой узел принадлежит какому ребру, и какое ребро принадлежит какой грани, и какая грань принадлежит какому тетраэдру. Кроме того, мы имеем представление об ориентации симплексов, которые играют какую-то роль. Короче, ребра, грани и т.д. есть не только двухузловые, трехузловые и т.д. подмножества множества , но также множество ориентаций симплексов относительно друг друга (учет того, что они «собираются» (стягиваются)).

Отметим, что если симплекс  принадлежит сетке, то все симплексы, которые формируют границу , также принадлежат ей. Кроме того, каждый симплекс появляется только однажды. Такая структура называется симплициальный комплекс.

Ориентированные симплексы

1)  Ребра

Ребро  ориентировано от  к . Все ребра сетки ориентированы принадлежат множеству .

Определим «числа инциденций»: , если  не совпадает с  или . В результате получим некоторую матрицу  с  столбцами и  строками, которая описывает как ребра соединяются с узлами.

2)  Грани

 

Грани ориентированы и принято подобное же соглашение: дан список узлов и их ориентация. Грань  имеет три вершины, узлы  и , которые можно «переставлять»: , , и они все равно являются узлами грани , но определяют четную перестановку; или нечетную перестановку, которую определим как противоположно ориентированную  грань, которая не принадлежит  , если грань  задана. Общепринято: положительно и отрицательно ориентированная система координат («правое» или «левое» вращения).  Ориентация грани  обусловливает ориентацию её границ: тангенциальный вектор  вдоль границы положительно ориентирован, если  есть прямая система координат, где  - «внешненаправленный вектор» в плоскости   относительно .

Вновь определим «число инциденций»:  равно +1, если  лежит вдоль границы; -1 – в противоположном случае; 0 – если  ни одно из ребер . Следовательно, матрица  имеет индексы  и .

Аналогично для ориентации тетраэдра.

                                                                                                        

                                                                                                   

                                                                                                                                 

                                                                                                

 

                                                                                                                     

 - векторы  - образуют положительную систему отсчета («координат»).

Здесь аналогично определяется матрица , если грань  есть граница тетраэдра, знак зависит от ориентации  и от согласования её с границей тетраэдра .

Whitneyelements (WE)

Теперь определим функцию или векторное поле для всех сеточных симплексов. Для WE справедливо тождество

 в                                                                         (1)

 - это оболочка всех  симплексов (пространство).

() – конечномерное пространство. Это сеточные пространства,  и .

Степень 1 ()

С ребром  мы ассоциируем векторное поле

                                                                (2)

и обозначим  конечномерное пространство, порождаемое  симплексами.

Степень 2 ()

С гранью  мы ассоциируем векторное поле:

                                        (3)

Степень 3 ()

 порождается функциями , каждая из которых для одного тетраэдра  равна  в  и 0 вне его. Аналитическое выражение аналогично (2) и (3).

 

                                                             

 

                                 

I

                                                                                                                              

                                                        

 

                                                                                   

II

I.  “edge - element” или Whitney element степени 1, ассоциированный с ребром . Это единичный тетраэдр, в котором  - одно из ребер.

II.  “face - element” или Whitney element степени 2, ассоциированный с гранью . Это единичный тетраэдр, в котором  - одна из граней.

 

I.  В точке  m:   из (2) и этот вектор ортогонален к грани, противоположной узлу m.

II.  В точке  m:   из (3) и этот вектор ортогонален и к и к , и, следовательно параллелен плоскости, противоположной граням  и , то есть является их пересечением, а именно ребром

Таким образом, любым симплексом связано поле, скалярно- или векторозначное. Эти поля есть Whitney элементы. Их основные свойства:

·  значение  в узле  есть 1 (0 в других узлах);

·  циркуляция  вдоль ребра  равна 1;

·  поток  через грань  равен 1;

·  интеграл от  по тетраэдру  равен 1 (и, конечно, в каждом случае, 0 для других симплексов).

В барицентрических координатах   для тетраэдра:

                                                                          D(0,0,0,1)

°

                       A(1,0,0,0)              °              

                                                                                                  C(0,0,1,0)                              

B(0,1,0,0)

Edge-vector – элементные базисные функции: