Теоремы для решения различных интегралов

Рассмотрим .Пусть

f(x,y) интегрируема на отрезке [a,b] в собственном смысле (или несобственном).Тогда:

       (1) - будет функцией от параметра y.Если: 

1.-для f(x,y) при  конечный предел;

2.

то в этом случаеравномерно относительно х

Теорема о переходе к пределу

Если f(x,y) при постоянном у интегрируема по х[a,b] и при стремится к равномерно по х, то имеет место:

  (4)

Теорема об интеграле

Еслиf(x) определена и непрерывна как ф-ия 2-х переменных на прямоугольнике, то (1) будет непрерывной ф-ей от параметра y на [c,d]:    [a,b;c,d]=[a,b]×[c,d]

Теорема о дифференцируемости под знаком интеграла

Пусть f(x,y) определена в прямоугольнике [a,b;c,d] и непрерывна по х на [a,b]при постоянном y[c,d].Предположим, что во всей области ,непрерывная как ф-ия 2-х переменных.Тогда имеет место:

(5)   

Теорема об интегрировании под знаком интеграла

Если f(x,y)-непрерывная ф-ия 2-х переменных в [a,b;c,d], то имеет место

          (6)                        

Теорема о диф-ти интеграла с изменяющимися пределами

Теорема5:

Пусть f(x,y) определена и непрерывна в прямоугольнике [a,b;c,d] а кривые при y(c,d) непрерывны и не выходят за пределы отрезка [c,d].Тогда:

    (8)

Теорема6:

если, кроме условий из теоремы 5 для ф-ии f(x,y) выполняется следующее: у нее существует непрерывные, частные производные по у, определенному в прямоугольнике [a,b;c,d], а у ф-ий  также производные ,тогда интеграл (8) можно продиф-вать по параметру у и эта производная будет равна:

(10)        

Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра

Равномерная сходимость относительно у:

Условие равномерной сходимости:

Для того, чтобы интеграл (1) сходился равномерно относительно у в Y (не зависит от у),что одновременно для

Признаки сходимости:

1. Пусть f(x,y) интегрируема по х в каждом конечном промежутке [a,b]. Если  интегрируемая на ,что , ,то (1) сходится равномерно относительно у.

2. Рассмотрим (3).Будем предполагать, что f(x,y) интегрируема на [a,b], а g(x,y) монотонна по Х. Если интеграл сходится равномерно относительно у, а g(x,y) равномерно ограничен ,то интеграл (3)сходится равномерно в области Y.

3. Еслибудет равномерно ограничена как ф-ия F(b,y)

 , а  равномерно относительно у в области Y,то (3) сходится равномерно относительно у в области Y.

4. Если (4)несобственный интеграл 1 рода,сходится, а g(x,y) монотонна по х и равномерно ограничена по х, то (4) сходится равномерно относительно у.

Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости

(не зависит от у)

Теоремы для несобственных интегралов, зависящих от пар-ра

1. Пусть f(x,y) для yY интегрируема в собственном смысле пох. В промежутке x[a,A] .В каждом таком промежутке при.Эта ф-ия равномерна по х .Если     (1) сходится равномерно относительно у, то имеет место соотношение:        (2)

2. Пусть f(x,y) определена и непрерывна для х≥а, у[c,d].Если (1) сходится равномерно относ-но у в [c,d],то этот интеграл есть ф-ия, непрерывная по пар-ру у.

3. Пусть выполнены условия теор2 и ф-ия f(x,y) имеет непрерывную по х производной .И пусть (1) сходится .

А интеграл от частной производной сходится равномерно отн-но у в том же промежутке   (3).Тогда

4. При предположении теор2, имеет место формула:

(4)  

Эйлеровым интегралом 2 рода называется интеграл вида.  Сходится для всех a>0

Эйлеровы интегралы

Эйлеровым интегралом 1 рода называется интеграл вида:

  (1)  a,b>0 – β-функция. Он сходится для всех a,b>0  и для него определены следующие св-ва:

1. B(a,b)=B(b.a)

2.

3.

4.