Составление алгоритма моделирования случайного вектора, имеющего в области X распределение f(x1,x2)

Министерство Образования Российской Федерации

Новосибирский Государственный Технический Университет

кафедра прикладной математики

Индивидуальная  работа

Часть 2

Факультет:            ПМИ

Группа:                 ПМ-91

Студент:                Кучеров Д.А.

Преподаватель:    Цой Е.Б.

Новосибирск

2003

Задание 1.

Составить алгоритм моделирования случайного вектора , имеющего в области  распределение f(x₁,x₂).

Решение.

.

Определим константу C из условия, что . Таким образом, С=3/2. Данную задачу можно перевести из декартовой системы в полярную систему. Тогда удобно моделировать полярные координаты, а уже по ним вычислять . Сделаем замену переменных и найдем якобиан преобразования:

.

Тогда . При этом плотности независимых случайных величин и , имеют вид:  и , где  и . Теперь воспользуемся методом обратной функции для моделирования и .

Следовательно,  и Составить алгоритм моделирования случайного вектора `, имеющего в области  распределение f(x₁,x₂ ,x₃).

Задание 2.

Составить алгоритм моделирования случайного вектора , имеющего в области  распределение f(x₁,x₂), по методу исключения.

Решение.

Определим константу C из условия, что . Таким образом, С=. В качестве функции g(x,y) можно взять константу . . Тогда алгоритм можно записать следующим образом:

1.  моделируем  с плотностью  и значение ;

2.  если , то идем на 1 и так далее, иначе .

Задание 3.

Найти моделирующее выражение для нормального случайного вектора  с дисперсионной матрицей K и математическим ожиданием m.

Решение.

Моделировать новую случайную величину будем с помощью следующего линейного преобразования: . Предположим, что A является треугольной матрицей вида:

Коэффициенты матрицы A можно найти при помощи рекуррентной процедуры.

, где .

В результате можно выписать окончательное моделирующее выражение:

     .

Задание 4.

Написать алгоритм моделирования одномерного стационарного гауссовского марковского процесса с нулевым априорным средним и одномерной корреляционной функцией вида: .

Решение.

Найдем условное математическое ожидание m(t|y(s)) и дисперсию K(t|y(s)):

.

Таким образом, значения процесса  можно вычислить по рекуррентной формуле:

, где  - независимые, нормально распределенные величины с нулевым средним и единичной дисперсией.