Случайные события.Теория вероятности

видимому,  вероятность  нужно  определить  как-то  иначе,  но  так,  чтобы  имело  место  отмеченное  желаемое  свойство  частот:  в  каком-то  смысле  отношение  n_A/n  должно  приближаться  с  ростом  n  к  вероятности  рассматриваемого  события  А  (см. следствие  теоремы  4.4).  При  этом  можно  воспользоваться  результатами,  которые  не  вызывают  сомнений,  а  именно:  вероятность  достоверного  события  равна  1,  невозможного – 0,  любого  другого  события – заключена  между  нулем  и  единицей.

Аксиоматическое  определение  вероятности.  Пусть  задано  измеримое  пространство ( Ω,А ).  В  нем  Ω – пространство  э. событий,  А – некоторая  σ-алгебра  событий ( множества  из  А  считаются  событиями  и  только  они ).

Вероятностью  события  А  из  σ-алгебры  А  называется  числовая  функция,  определенная  на  А  и  удовлетворяющая  следующим  свойствам  (аксиомам):

Р1:   Р(А) ≥ 0   "Ає А  -  аксиома  неотрицательности;

Р2:   Р(Ω) = 1  -   аксиома  нормированности;

Р3:   Если  последовательность  событий  {A_n}  такова,  что  A_iA_j=Ø,  i ≠ j,  то  Р( U_kA_k )=Σ_k=1P(A_k)  -  аддитивность  сложения.

С  точки  зрения  теории  меры  задание  вероятности  на  А - задание  конечной  меры  на  измеримом  пространстве ( Ω,  А ):  неотрицательной,  счетно-аддитивной  функции (свойства  Р1  и  Р3 ),  но  с  дополнительным  условием  на  нее:  Р(Ω)=1.  Вероятность,  заданную  на  σ-алгебре  А,  называют  вероятностной  мерой.

Тройка  объектов (Ω,  А,  Р )  называется  вероятностным  пространством.  В  нем  Ω – пространство  э. событий,  А –  σ - алгебра  ω -  множеств  и  Р – вероятностная  мера  на  измеримом  пространстве (Ω,  А)  (потому  и  названо  это  пространство  измеримым).  Условия  Р1÷ Р3  называются  аксиомами  вероятности.

В  таком  виде  аксиоматика  ТВ  была  сформулирована  А. Н. Колмогоровым.  Введенная  система  аксиом  непротиворечива  и  неполна.  Как  всякая  система  аксиом  она  не  единственна.  Вместо  аксиомы  Р3  можно  ввести  следующие  утверждения:   Р3’:  если  события  А  и  В  несовместны,  то  Р(А+В)=Р(А)+Р(В);  Р4:  Пусть  последовательность  событий  А₁,  А₂,…  такова,  что  А_n+1 A_n,  n ≥ 1,  и  А=∩_n=1A_n=lim_n→∞A_n.

Тогда  Р(А)=Р(lim_n→∞A_n)= lim_n→∞Р(A_n)  -  аксиома  непрерывности  (почему  такое  название?).

Полученная  система  из  4  аксиом  будет  эквивалентна  исходной  и  непротиворечивой  (доказательство  см.  в  [2],  стр.  28). 

Из  аксиом  Р3’  и  Р4  с  использованием  формул  де  Моргана  можно  получить  еще  одну  аксиому  непрерывности:   Р4’:  пусть  последовательность  событий  {A_n}  такова,  что  А_n+1 А_n,  n ≥ 1,  A=U_n=1A_n= lim_n→∞A_n.  Тогда  Р(А)= lim_n→∞Р(A_n).

Далее  везде  мы  будем  пользоваться  исходной  системой  аксиом  Р1÷Р3,  но  часто  использовать  свойства  Р4,  Р4’,  которые  из  нее  можно  получить.

Свойства  вероятности.

1.  1). Р(Ø) = 0.

Результат  получается  из  равенства  Ø+Ω=Ω  и  аксиом  Р2,  Р3.

2.  2.  Р(Ā)=1 – Р(А).

Действительно,  Ω = А+Ā,  А∩Ā = Ø,  дали  свойства  Р2, Р3.

3.  3). Если  А  В,  то  Р(А) ≤ Р(В).

Этот  результат  следует  из  того,  что  В=А+ĀВ.  Так как  А∩ĀВ = Ø,  то  с  применением  Р2,  Р3  получаем  Р(В)=Р(А)+Р(ĀВ).  Отсюда,  согласно  Р1,  имеем  Р(В) ≥ Р(А).

Следствие. Из приведенных выше рассуждений следует,что если АВ, то Р(В-А)=Р(В)-Р(А).

4.  4). Р(А) ≤ 1.

Результат  следует  из  свойства  3  и  Р2.

Отсюда  и  из  соотношения  Ø  А Ω  следует,  что  0 ≤ Р(А) ≤ 1.

5).  Р(АUB) = P(A) + P(B) – P(AB)  -  формула  вероятности  суммы  событий.

Действительно,  АUB = A+(B–A),  B=(B–A) + AB;  слагаемые  в  правых  частях  обоих  равенств  несовместные  события  =>  с  учетом  аксиомы  Р3  Р(АUB)=P(A) + P(B–A)  и  Р(В)=Р(В–А) + Р(АВ)  или  Р(В–А)=Р(В) – Р(АВ).

6).  Р(АUB) ≤ P(A)+P(B),

Результат  является  следствием  свойства  5  и  Р1.

5.   7). Р(U_k=1A_k)=Σ_k=1P(A_k) – Σ_{i,j i<j}P(A_iA_j)+…+(-1)^n-1P(A₁A₂…A_n).

Результат  является  обобщением  свойства  5  на  случай  конечного  числа  слагаемых.  Если  же  A_i A_j=Ø,  i≠j,  тогда  Р(Σ_k=1A_k)= Σ_k=1P(A_k).

6.   8). Р(U_n=1A_n) ≤ Σ_n=1P(A_n).

7.  Введем  в  рассмотрение  события  В_n= U_k=1A_k,  n ≥ 2.  События  A_nВ_n  несовместны  при  n ≥ 2;  " A_n:  Р(A_nВ_n) ≤ Р(A_n),  равенство  имеет  место,  если  A_n В_n.  Тогда  Р(U_n=1A_n)= Р(U_n=1A_n В_n)= Σ_n=1P(A_nВ_n) ≤ Σ_n=1P(A_n).

9). Если  {A_n}  монотонная  последовательность  событий  и  А= lim_n→∞A_n= {U_n=1A_n,  если  A_n+1A_n,  n ≥ 1;  ∩_n=1A_n,  если  A_n+1  A_n,  n ≥ 1,  то  Р(А)= lim_n→∞Р(A_n).

Это  аксиомы  непрерывности,  сформулированные  ранее.

1.5.  Элементы  комбинаторики  в  ТВ 

В  этом  параграфе  речь  пойдет  о  классической  вероятности.  Как  уже  было  отмечено,  пространство  э. событий  в  практических  задачах  построить  бывает  достаточно  сложно,  даже  если  Ω – дискретное  множество  (в  силу  большого  числа  элементов  в  нем).  Важно  при  определении  вероятности  событий  знать  не  сами  элементы  множества  Ω,  а  число  элементов  в  пространстве  Ω,  которое  мы  будем  обозначать  символом  |Ω|.  Отвлекаясь  от  конкретного  содержания  элементов  ω є Ω  в  практических  задачах,  эту  задачу