Случайные величины. Их распределение и основные характеристики. Закон больших чисел.

Испытывается устройство, состоящее из 4 независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: р₁=0.3, р₂=0.4, р₃=0.5, р₄=0.6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

(1,8; 0.94)

53. Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных независимых с.величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.

54. Распределение с. величины x определяется формулами р{x=i}=1/5, i=0,±1,±2. Найти распределение величин -x и |x|.

55. Распределение случайной величины x определяется формулами P{x=k}=c/k(k+1), k=1,2,... Найти а) с; б) P{x≤3}; в)P{h₁≤x≤h₂}.

56. Плотность распределения с. величины x задается формулами P_x(x)=c/x⁴, если х³1 и Р_x(х)=0, если х<1. Найти: а) с; б) плотность распределения с. величины h=1/x; в)Р{0.1<h<0.3}.

57. С.величина имеет показательное распределение с параметром a. Найти плотности распределений с.величин а) h=√x; б) h=x²; в) h=1/2lnx;  г) h={x}; д) h=1-e^-ax.

58. С.величина распределена равномерно на отрезке [0,1]. Найти плотность распределения с.величины а)h=2x+1; б) h=-ln(1-x).

59. С.точка В имеет равномерное распределение на окружности  x²+(y-a)²=r², а с.точка С=(x,0) является пересечением оси абсцисс с прямой, проходящей через центр окружности и точку В. Найти функцию распределения и плотность распределения с.величины x (распределение Коши).

60. С.величина x имеет непрерывную функцию распределения F(x). Показать, что с.величина h=F(x) имеет равномерное распределение на [0,1].

61. Пусть x равномерно распределена на [0,1], a F_-1(y)=sup{x:F(x)<y}, 0≤y≤1, функция, обратная к функции распределения (не обязательно непрерывной ). Доказать, что с.величина x=F_-1(h) имеет функцию распределения F(x).

62. Функция F(х) непрерывна в каждой точке. Доказать, что она равномерна непрерывна на R.

63. Совместное распределение с.величины x₁,x₂ дается числами р₁₁=1/8, р₁₂=1/12, р₁₃=7/24, р₂₁=5/24, р₂₂=1/6, р₂₃=1/8, где Р_ij=Р{x₁=x_i,x₂=y_i}, i=1,2; j=1,3, x₁=-1,x₂=-1; y₁=-1, y₂=0, y₃=1. Найти а) одномерное распределение Р_x1, Р_x2; б) совместное распределение с.величины h₁=x₁+x₂, h₂=x₁x₂;  в) одномерное распределение Р_hi, i=1,2.

64. Плотность совместного распределения величин x и h определяется равенствами f(u,v)= 1, если (u,v) Î G={(u,v): 0≤u≤2, 0≤v<1- u/2}, и f(u,v)= 0,если (u,v) ÏG. Найти f_x (x).

65. Плотность совместного распределения с.величин x₁иx₂  f_x1x2(u,v)=  C(u+v), если (u,v)Π [0,1] ´ [0,1] и f_x1x2(u,v)= 0,если (u,v) Î [0,1] ´ [0,1]. Найти а)постоянную С; б) f_xi(x_i), i=1,2; в) плотность распределения h=max(x₁,x₂)

66. Плотность f_x1x2(u,v)=   2/p(u²+v²)³, если u²+v²³1,  и 0, если u²+v²<1. Найти f_h(y), если h=√x₁²+x₂²

67. Неотрицательные с.величины x₁ и x₂ независимы и имеют одну и ту же плотность распределения f(x), x≥0. Найти f_h1h2(u,v), если h₁= x₁-x₂ и h=√x₁²+x₂².

68. С.величины x₁ и x₂ независимы и имеют одно и то же показательное распределение. Найти Р{|x₁-x₂|≤1}.

69. С.величины x и h независимы и имеют равномерное распределение на [0,1]. Найти плотность распределения с.величины а) x+h;  б)x-h;  в) xh;  г) x/h.

70. С.величины  x и h независимы и имеют показательное распределение с параметром l=1. Найти плотность распределения с.величин а) x+h;  б)x-h;  в) |x-h|;  г) x/h.

71. Найти  Р_x+h(х), если а) x имеет равномерное распределение на [0,1], h-равномерно распределена на[0,2]; б) x имеет равномерное распределение на [0,1], h-показательное с параметром l=1; в) обе с.величины распределены по показательному закону с одним и тем же параметром; г) обе с.величины распределены по закону Пуассона с параметрами l₁ и l₂.

72. Найти плотность распределения с.величины h= x₁/ (x₁+ x₂),если  x_i, i=1,2, независимы и равномерно распределены на [0,1].

73. С.величины x₁ и x₂ независимы, P{ x₁=0}=P{x₁=1}=, x₂ равномерно распределена на отрезке [0,1].  Найти закон распределения с.величины x₁+x₂.

74. Распределение двумерной  случайной величины x  определяется формулами P{x=i}=1/5, i=0;  1,2. Найти м.о.  с.величины h= -x, h=|x|.

75. Известна f_x(x)= . Найти м.о. и дисперсию с.величины x  и h=1/x. 

76. Найти м.о. и дисперсию с.величины, если а) P{x=m}=, m=0,1,2,…, б)P{x=m}= C_n^mp^mq^n-m , q=1-p, m=.

77. f_x1,x2(u,v)=.  Найти Мx_k, Dx_k, k=1,2, cov(x₁,x₂).

78. C. величина x равномерно распределена на [0,2p]; h₁=cosx, h₂=sinx. Найти Mh₁, Mh₂, cov(h_1,h₂). Являются ли h₁,h₂ независимыми?

79. f_x1,x2(u,v)= . Найти М.

80. C.величина имеет показательное распределение P{x>x }=e^-x, x³0. Найти Мx(1-e^-ax).

81. C.величина x имеет равномерное распределение на отрезке [0,1]. Найти cov(h₁,h₂), если а) h₁=аx, h₂=bx, (a,b>0); б) h₁=аx, h₂=bx, (a<0<b); в) h₁=x, h₂=x², г) h₁=x-1/2, h₂=(x-1/2)²; д) h₁=sin(x) , h₂=cos(x)

82. Пусть (x,h) - координаты с.точки,  имеющей равномерное  распределение  в области DÎR². Найти r(x,h),  если а) D - часть единичного круга x²+y²£1, x³0, y³0; б) D -  треугольник x+y£1, x³0,y³0.

83. С. величина x и h некоррелированы. Доказать, что Mxh=MxMh.

84. Найти ковариационную матрицу с. вектора x=(x_1,x₂,x₃), если а) x_1,x₂,x₃  независимы и имеют стандартное нормальное распределение;        б)вектор x имеет равномерное распределение  в кубе{(x₁,x₂,x₃): max |x_k|£}; в) вектор x с вероятностью 1/6 принимает каждое из 6 значений (0,0,),                (0, , 0), (,0,0).

85. Какие из матриц могут быть ковариационными для вектора x=(x_1,x₂,x₃):               а);    б);  в);   г) ; д); е); ж)?

86. При каких х существует с.вектор x=(x_1,x₂,x₃) с ковариационной матрицей а);б)?

87. Из 30 чисел 1,2,…,30  по схеме равновероятного выбора без возвращения отбирается 10 чисел. Найти м.о. суммы выбранных чисел.

88. Неотрицательной с.величина x имеет функцию распределения F(x)=P{x<x}.Доказать, что Мx=

89. C.величина x имеет функцию распределения F(x). Доказать, что если M|x|<, то Мx=.

90. C.величины x ,h обладают конечными дисперсиями: Dx=s₁², Dh=s₂². Указать пределы, в которых может изменяться D(x+h).

91. Найти P{|x-Mx|<3x}, если x имеет : а)нормальное распределение;

б)показательное распределение; в)равномерное на [-1,1]; г) распределение Пуассона с Мx=0.09.

92. Координата x с.точки А на действительной прямой имеет непрерывную функцию распределения. Найти на прямой такую т. В, для которой м.о. длины отрезка АВ минимально.

93. С.величины x и h независимы и P{x=k}=P{h=k}=pq^k-1, q=1-p, k=1,2,… Найти а)P{x=h};  б)P{x>h};  в)P{x<h};  г)P{x=k|x>h};  д)P{x=k|x<h};  е)P{x=k|x=h};  ж)P{x=k|x+h=l};  з)M{x|x+h=l}, l=2.

94. С. величины x и h независимы и одинаково распределены. Найти f_x|x+h=z(x) в следующих случаях: а) x и h имеют показательное распределение с параметром l;

б) x и h  равномерно распределены на [0,1]; в) x и h имеют распределение с f(x)=l²xe^-lx,x³0.

95. Найти в условиях задачи 94 диспресию D(x|x+h=z).

96. С.величины независимы и одинаково распределены. Найти M(x|x+h=z).

97.  f_xh(u,v)=. Найти f_h(z|x

98. С.величины x₁,x₂,…,x_n независимы и распределены по закону Пауссона с параметрами l_1,l₂,…,l_n. Найти а)P{x₁+…+x_k=m|x₁+…+x_n=n}; б)M(x₁+…+x_m|{x₁+…+x_n=n).

99. С.величины h_1,h₂,h₃ независимы и распределены нормально с одинаковыми параметрами а=0, r=1; h=. Найти распределение h.

100. С.величина x имеет нормальное распределение с  m=0 и σ=1.Какое из двух событий {|x|<0,7} и {|x|³0,7} имеет большую вероятность?

101. С. величина имеет стандартное нормальное распределение. Что  больше:    P{-0,5£x£-0,1} или P{1£x£2}?

102. С.величина  x распределена нормально с параметрами (a,σ²) . Найти:

а)плотность распределения с.в. h=x² при а=0;

б) плотность распределения с.в.h=e^x при произвольных  a и σ.

103.C.величины x₁  и x₂  независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (a, σ ²). Найти f_h(x), если h=x₁²+x₂².

104. С.величины x_i, i=, имеют стандартное нормальное распределение