Решение краевых задач методом конечных элементов

пространства  достаточно выписать условие ортогональности невязки всем базисным векторам этого подпространства: , , при этом не требуется самосопряжённость оператора .

Важным в построении дискретного аналога является выбор пространства и системы базисных функций.

Умножим исходное уравнение в пространстве  на базисные функции - пробные функции , где  из пространства, где базисные функции удовлетворяют однородным краевым условиям.

  

   

, , так как либо поток , либо выберем такие .

Поскольку приближённое решение  принадлежит подпространству , то может быть представлено в виде линейной комбинации базисных финитных функций:

, где  - базисные функции пространства, для которых пробные являются подпространством.

В общем случае любая пробная функция может быть представлена в виде линейной комбинации

, но когда будем выписывать уравнения для каждого , то будет иметь место представление , .

,           .

,            .

Таким образом, мы получили матрицу СЛАУ, решив которую получим веса функции в узлах.

Поскольку в качестве базисных функций выбраны финитные функции вида:

, которые не равны нулю на конечном интервале, таким образом, перейдем к этому конечному промежутку – конечному элементу и рассмотрим на нём локальные матрицы массы, жёсткости и вектора правой части.

Введём обозначения:

          матрица массы

С условием интерполяции функции , матрица массы примет вид:

          матрица жёсткости или с учётом интерполяции функции :

  

                         вектор правой части

Посчитав эти интегралы, получаем следующие локальные матрицы массы и жёсткости, а также локальный вектор правой части:

,

,

.

Локальная матрица .

Замечание.

Как видно интерполяция функции  совпадает с усреднённым значением функции на отрезке.

            2.2. Алгоритм сборки глобальной матрицы СЛАУ и глобального вектора правой части. Метод решения СЛАУ.

Для непрерывности базисных функций в каждом узле , где базисные функции с различных конечных элементов принимают значение равное единице, производим их «склейку». Поэтому глобальная матрица получается из локальных матриц путем некоторого вклада – наложения частей одной локальной матрицы на часть другой локальной матрицы: . Вид глобальной матрицы приведён в приложении 1.1. Вид глобального вектора приводить не будем по той причине, что он очевиден: .

После ассемблирования глобальной матрицы и глобального вектора получили трехдиагональную матрицу. Решим полученную СЛАУ  методом   разложения.

            2.3. Описание алгоритма решения краевой задачи

Поскольку задача линейная, т.е. , то особых трудностей для решения задачи не возникает.

1.  Построить глобальную матрицу

2.  Сформировать вектор правой части

3.  Учесть краевые условия:

- первые и третьи краевые условия учитываются следующим образом:

для первого  – в вектор правой части ставим , а в матрице на место элемента  записываем единицу и все элементы этой строки зануляем, поскольку первое краевое условие явно определяет вес в узле.  Далее проводим симметризацию матрицы;

для третьего   элемент матрицы , а в векторе правой части .

- вторые и первые краевые условия:

для учёта второго  добавка  идёт только в вектор правой части;

учет первого аналогичен описанному выше.

4.  Решить СЛАУ     

            2.4. Анализ результатов вычислительных экспериментов

Линейная функция

1.1.

Таблица №1 и №2

 

Результаты, когда значение  бралось, как усредненное значение оказываются на порядок хуже, чем когда функция  была интерполирована.

При исследовании получения решения на вложенных сетках «лучшее» решение получаем при увеличении числа узлов сетки, иными словами, при уменьшении шага в два раза погрешность уменьшается как минимум в два раза.

При  не получаем точного решения, хотя казалось бы функция - линейная