Распределение случайных величин

Мера, заданная на  – функция , если выполнены следующие условия: ; для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств  таких, что , выполнено свойство счетной аддитивности (-аддитивности): ,  - некоторое измеримое пространство.

Мера конечна, если дополнительно выполнено условие .

Свойства:

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  Если  - убывающая последовательность такая, что , то . Если последовательность  - возрастающая и такая, что , то .

Вещественная функция  называется -измеримой или просто измеримой, если  и  - борелевская -алгебра на  при условии, что  - некоторое измеримое пространство.

Случайная величина – измеримая функция , ставящая в соответствие каждому элементарному исходу  число , где  - некоторое вероятностное пространство.

Функция измерима, если все множества , т.е. являются событиями для любого борелевского множества .

Функция распределения (вероятностей) случайной величины  называется функция , значение которой в точке  равно вероятности события , т.е. .

Свойства:

1.  ;

2.  ;

3.  ; ;

4.   - непрерывная справа функция в каждой точке ;

5.  ;

6.  ;

7.  .

Дискретная случайная величина – случайная величина , для которой ступенчатая функция , имеющая в точках  скачки, величина которых равна соответственно , является функцией распределения, или если каждому элементарному исходу ставится в соответствие одно число из конечного или счетного множества чисел , причем вероятность события .

Ряд распределения – способ задания дискретной случайной величины. Аналог плотности распределения для непрерывных случайных величин.

Ограничения на :

1.  ;

2.  , т.к. .

Закон распределения случайной величины  или просто распределение случайной величины – это такая характеристика вместо функции распределения, по которой возможно однозначно восстановить функцию распределения.

По ряду распределения можно восстановить функцию распределения: , где .

Функция распределения дискретной случайной, являющейся константой: .

Функция распределения индикатора события : .

Если  - дискретное вероятностное пространство,  - некоторая случайная величина, принимающая значения  и , то , где множества  образуют разбиение пространства . Тогда ряд распределения случайной величины  и функция распределения имеют следующий вид:

, : биномиальный закон распределения с параметрами распределения  и . Функция распределения имеет вид: .

, : геометрический закон распределения с параметром . : отсутствие последействия – условная вероятность того, что событие будет продолжаться  времени, если известно, что она не закончено за  времени, совпадает с вероятностью того, что событие будет продолжаться  времени.

, : пуассоновское распределение с параметром  используется в теории надежности и теории массового обслуживания.

Плотность распределения (вероятностей) случайной величины  - это такая функция , что  (учитывая, что интеграл сходится). Плотность определяет закон распределения случайной величины.

Непрерывная случайная величина – случайная величина, функция распределения которой  представима в виде интеграла .

Т.к. на практике функция плотности распределения является непрерывной почти всюду на области определения, поэтому почти всюду выполняется равенство .

Свойства плотности распределения:

1.  ;

2.  ;

3.  .

Для произвольного множества :

,

: равномерно распределенная на отрезке  случайная величина  имеет плотность распределения , функция распределения , вероятность попадания случайной величины на интервал : .

: экспоненциальное (показательное) распределение с плотностью распределения  и функция распределения , где  - параметр распределения. Обладает отсутствие последействия – если непрерывная случайная величина обладает этим свойством, то вероятность попадания в любой интервал длины  не зависит от того, где на числовой прямой расположено начала интервала, эта вероятность зависит только от длины интервала.

Характеристическое свойство экспоненциально распределенных случайных величин – отсутствие последействие.

: нормальное (гауссово) распределение имеет плотность распределения , функцию распределения , где  - среднее значение случайной величины,  - среднее квадратичное (квадратическое) отклонение.

: «правило трех сигм» – нормальная случайная величина практически никогда не отклоняется от своего среднего значения  более чем на .

При ,  нормальный закон называют стандартным нормальным законом распределения, плотность которого  и функция распределения которого .

Нормальное распределение случайной величины используется в практических задачах математической статистики, случайных процессов.

Распределение Вейбулла: , , подчиняет время безотказной работы многих технических устройств. При  превращается в , при  - распределение Рэлея.

Гамма-распределение: ,  - гамма-функция Эйлера. Описывает время безотказной работы технических устройств. При  превращается в распределение Эрланга, применяемое в теории массового обслуживания. При и  превращается в распределение хи-квадрат , используется в математической статистике,  - степень свободы распределения. При  превращается в .