Модель факторного анализа

и приводит к хорошо знакомым результатам — 9] = ц и 0₂ = о².

В работе Д. Лоули [59] показано, что в факторном анализе метод максимального правдоподобия применим для разработки вычислительных процедур и установления оптимальных оценок симметрической матрицы парных корреляций R, а именно: матрицы А — факторного отображения и D² — диагональной матрицы характерностей. Результаты решений отличаются определенностью. Пространственное положение ортогональной системы векторов факторных нагрузок сразу представляется наилучшим образом, так что не возникает необходимости ее последующего вращения и перебора вариантов пространственной ориентации с целью улучшения оценок матрицы А. В последующем, впрочем, допустимо переходить к косоугольной или какой-либо другой системе факторов.

Общая модель факторного анализа остается в данном случае действующей, описывая гипотетическую зависимость элементарного признака X/ от некоторого набора латентных (общих) факторов:

Xj=ajiFi +a_J7F₂ +...+a_jrF_r +ajD,, здесь значения у'-го элементарного признака Ху могут быть величинами (натуральными или стандартизованными), F_r и dj при j = l,m соответственно общие и характерный факторы, по предположению они независимы и нормально распределены.

Оценкой вариации многомерной случайной величины Хр как известно, является ковариационная матрица ]Г, при имеющихся истинных оценках матриц факторного отображения А и характерностей D² можем записать ]Г= АА' + D². На самом деле всегда есть некоторое приближение оценок к ^=АА' + Ь^.

Исследователями, работавшими над методом максимального правдоподобия в факторном анализе (Д. Лоули, А. Максвелл, К. Йореског, У.Дж. Хеммерл и др.), было показано, что оценки факторных нагрузок пропорциональны стандартному отклонению соответствующего параметра Xj и оценочные уравнения в

общем не зависят от единиц измерения ху. Это приводит к выводу о возможности построения оценочных уравнений для a-_r не только на коэффициентах матрицы £, но и на коэффициентах матрицы R в генеральной совокупности (матрицы р). Конечные результаты по данным матриц £ и р идентичны, что означает правомерность записи: p = AA'+D² = AA' + D,

причем A=pR~^lA и D²=E~AA', с произведением АА' — строго диагональной матрицей. Допуская р = R, дальнейшие рассуждения можно упростить. Опустим также, чтобы облегчить запись формул, непринципиальные для наших выводов символы ^л. Будем иметь:

R = AA'+ D².

Переход к матричному уравнению, представляющему алгоритм вычислений оптимальных параметров А и D, осуществляется умножением левой и правой частей предыдущего уравнения на A' D~², тогда:

A'LT²R = (А'ГГЧ + JE) A'.

Вводя обозначение: A'D~²A = J, имеем:

A'£T²R = (E + J) А', или ALT²R - A =JA'.

Последнее матричное уравнение позволяет построить алгоритм для поиска улучшенных оценок факторных нагрузок. Зная, что A'— J~~*(Afr²R — А), получаем

А' = [(A'D ~²A) ²] -'/2 (AD~²R - А) = = [A'D~²(RD~²A -A)] ~^l/²(AD'²R -A).

Собственно в алгоритме итеративной вычислительной процедуры совместно используются два равенства:

JA' = AD~²R- А;     & = Е- diag A'A;

и дополнительное условие, что A'R~¹A — диагональная матрица. Вычисления проводятся по известным заранее некоторым приближенным оценкам матрицы факторного отображения А, в которой каждый вектор-столбец есть подмножество элементов A_r' = {a_lra_2r...a_mr}.

Обозначим улучшенную оценку a_jr через l_jr, множество lj_r образует матрицу оптимизированных значений факторных нагрузок L. Векторы максимально правдоподобных оценок L_r находят по схеме: