Моделирование случайных величин. Алгоритмы моделирования

Министерство Образования Российской Федерации

Новосибирский Государственный Технический Университет

кафедра прикладной математики

Индивидуальная  работа

Часть 1

Факультет:            ПМИ

Группа:                 ПМ-91

Студент:                Кучеров Д.А.

Преподаватель:    Цой Е.Б.

Новосибирск

2003

1.  Моделирование равномерно распределённой случайной величины (физический генератор).

Примером такой генерации может быть, например, процесс бросания правильного многогранника (куб, додекаэдр, икосаэдр) с нанесёнными на грани числами 1, 2,…, N (где N – число граней) на горизонтальную поверхность. Считывание числа производится по нижней грани. Вероятность выпадения некоторого числа равна 1/N. Таким образом, распределение случайной величины будет равномерным на дискретном множестве {1, 2,…, N}.

2.Написать алгоритм моделирования дискретной величины гипергеометрического распределения:

Моделирование такой величины можно осуществить по следующей схеме:

1. 
2. 
3. Если , то  и останов, иначе на 4.
4.  и переход на 2.

В этом алгоритме осталось вычислить величину , которая выражается с помощью следующей формулы:.

3. Найти методом обратной функции моделирующее выражение для случайной величины , имеющей заданную плотность распределения.

. Вычислим функцию распределения . После разрешим уравнение , где , относительно . В результате будем иметь моделирующее выражение для случайной величины  с плотность :

.

4. Найти моделирующее выражение для случайной величины , имеющей заданную плотность распределения, по методу обратной функции, когда  немонотонна.

Вычислим константу c, которая равна с=3e/(1+3e) .  Разобьем нашу исходную функцию плотности на две функции и . Естественно положить , а . После этого можно вычислить соответствующие вероятности:  и аналогично вычислим

. Теперь необходимо найти для каждой функции ее распределение, которое вычисляется по определению. и

. Последовательно разрешая уравнения  относительно , получаем моделирующие выражения на определенном интервале. Результат можно представить в следующей форме:

.

5. Написать алгоритм моделирования случайной величины  распределенной по закону , с использованием порядковых статистик.

. Первым делом необходимо вычислить параметр c, исходя из того, что . Проинтегрировав и разрешив уравнение относительно c, получим, что . Поскольку существуют отрицательные коэффициенты при степенях x, то воспользуемся полиномом Бернштейна. При этом стоит отметить, что плотность распределения k-ой порядковой статистики равномерно распределенной имеет вид: . Преобразуем исходную плотность к следующему виду . Теперь определим коэффициенты полинома Бернштейна:

                                    1. k=3 n =4                

                                    2. k=2 n =3                

                                    3. k=1 n =2                

Перепишем по-новому функцию распределения . Тогда можно выписать порядковые статистики и их вероятности.

6. Написать алгоритм моделирования случайной величины  по методу исключения.

. Параметр . Для моделирования случайной величины необходимо задаться постоянной , удовлетворяющей . Можно положить .

Тогда алгоритм моделирования можно записать следующим образом:

1. Положим:  
2. Если , то  искомая точка, иначе переходим на 1.

7. Написать алгоритм моделирования случайной величины , имеющей указанную плотность распределения.

.

Вычислим константу c, которая равна . Воспользуемся методом исключения. Для моделирования случайной величины необходимо задаться постоянной , удовлетворяющей . Поскольку функция f(x) возрастающая, то на отрезке [a,b] она будет иметь максимуму в точке b. Следовательно, в качестве M можно будет взять любое число большее f(b), например, M=f(b)+1. После этого можно воспользоваться алгоритмом моделирования, описанного в предыдущем примере.

8. Написать алгоритм моделирования случайной величины  при помощи метода суперпозиции.

.

Преобразуем нашу функцию плотности к следующему виду: , где . Запишем условную плотность распределения . Теперь составим уравнение относительно , которое имеет вид: . Отсюда можно получить моделирующее выражение для случайной величины : , где .