Многомерные случайные величины

III. Многомерные случайные величины

3.1.Совместная (n– мерная) функция распределения

Пусть  - некоторое вероятное пространство и  - случайные величины, заданные на нем. Каждому значению  они ставят в соответствие вектор  .

Отображение  , задаваемое совокупностью случайных величин  , называется случайным вектором или многомерной случайной величиной или n – мерной случайной величиной.

Но если учесть, что все , измеримые функции, случайным вектором ξ следовало бы назвать отображение , где В – борелевская σ – алгебра в Rⁿ. Необходимым и достаточным условием измеримости случайного вектора ξ является выполнение условия:

.

Справедливо утверждение [1]: n – мерная случайная величина ξ измерима тогда и только тогда, когда все функции  являются А – измеримыми функциями.

Пример 1. На скачках, где скачут две лошади, n человек заключают пари (между собой, группами, и т. д.). Результатами эксперимента являются элементарные исходы - финишировала первая лошадь, - финишировала вторая лошадь. Каждому элементарному исходу может быть поставлена в соответствие многомерная случайная величина , в которой  - «выигрыш» k-ого игрока в случае одного из двух исходов.

Основной характеристикой случайного вектора ξ является совместная или n-мерная функция распределения Если положить n=2, то двумерная функция распределения есть не что иное, как вероятность попадания точки с координатами  в заштрихованную на рисунке область.

ξ₂

                                                                                x₂                                             (x₁,x₂)

                                                                                 0                      x₁  ξ₁

Далее везде будем вместо  писать  , где упрощение записи не вызывает недоразумений.

Свойства совместной функции распределения случайного вектора ξ аналогичны свойствам функции распределения случайной величины, но есть и специальные, вызванные тем фактом, что ξ – вектор.

2.   - функция неубывающая по каждому из своих аргументов.

3. Функция  - непрерывная слева функция  по каждому из своих аргументов.

4.

Результат следует из того, что событие  и пересечение любого события А с невозможным событием есть событие невозможное.

5. для всего множества перестановок чисел 1,2,…,n.

6.Если m<n, то .

Рассмотрим , т.е.m=1. Событие - достоверное событие, произведение события А и достоверного события есть событие А, поэтому

Аналогичные рассуждения можно провести для любого 1<m<n. Если m=n, то .

Свойства 5 и 6 называют свойством согласованности совместной функции распределения случайного вектора .

Свойство 6 позволяет получить так называемые маргинальные (частные) распределения случайных величин , , если известна их совместная функция распределения: .

Функция  называется совместным маргинальным распределением случайных величин .

7.Справедливо соотношение

При n=2 формула принимает вид

Далее везде для простоты ограничимся рассмотрением двумерных с. величин.

3.2. Дискретные двумерные случайные величины

Двумерная случайная величина  будет дискретной, если каждая из случайных величин  дискретна. Как и в одномерном случае, двумерную дискретную величину можно описать с помощью таблицы с двумя входами, по смыслу схожей с рядом распределения одномерной случайной величины. В верхней строке таблицы перечислены все возможные значения случайной величины : ; в левом столбце – все возможные значения случайной величины : . В клетках на пересечении строки i и столбца j записывают вероятности события . В последней строке таблицы  записаны числа . Следовательно, первая и последняя строки таблицы образуют ряд распределения случайной величины . Аналогично, первый и последний столбцы таблицы образуют ряд распределения случайной величины .

Таблица 2

Таблица может быть обобщена на случай n>2.

3.3.Непрерывные n-мерные случайные величины

Если функция  абсолютно непрерывна, то случайная величина  называется непрерывной. Совместную функцию распределения в этом случае можно записать в виде n-кратного интеграла  и функция  плотность распределения n-мерной случайной величины . Как и в одномерном случае будем полагать .

Свойства совместной плотности распределения

1.

2.

3. Если , то

4. Условие согласованности для совместной плотности распределения имеет вид:

-маргинальная совместная плотность распределения случайной величины .

В частности, - маргинальная плотность распределения с. величины , .

В заключении рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике многомерное нормальное распределение  (гауссово распределение).

Говорят, что с. вектор , компонентами которого являются непрерывные с. величины ,  распределен по нормальному закону, если совместная плотность распределения вектора  определяется формулой

                                                        (3.1)  

где , -вектор математического ожидания с. величины  или вектор средних , положительно определенная матрица А носит