Методы моделирования. Поиск методом моделирующих выражений для случайной величины

МО РФ

НГТУ

Лабораторные работа №3

по дисциплине

«Методы моделирования»

Кафедра: ПМт

Факультет: ПМИ

Группа: ПМ-86

Студенты: Кочанов М.В.

                    Рощина Т.Е.

                    Юркевич А.В.

Преподаватели: Тимофеев В. С.

                            Тишковская С. В.

Новосибирск 2001

1. Задание

·  Найти методом обратной функции моделирующее выражение для случайной величины , имеющей заданную плотность распределения:

;  (1)

·  Найти моделирующее выражение для случайной величины , имеющую заданную плотность распределения, по методу обратной функции, когда  немонотонна:

;  (2)

·  Написать алгоритм моделирования случайной величины , распределенной с плотностью  с использованием порядковых статистик:

; (3)

·  Написать алгоритм моделирования случайной величины  с заданной плотностью распределения :

;     (4)

·  Написать алгоритм моделирования случайной величины  с заданной плотностью распределения по методу суперпозиции:

;   (5)

·  Написать алгоритм моделирования случайной величины  с плотностью  по методу исключения:

.  (6)

2. Постановка задачи

Исходя из методов указанных для заданий (1)-(6) были получены следующие алгоритмы моделирования случайной величины :

(1): ;   (1*)

(2): ,;(2*)

   (3):, , ;(3*)

   (4): 1)    (4*)

2)  Если , то , иначе 1);

(5): ;    (5*)

(6): 1)   

       

2) Если , то , иначе 1).

Т.к. в задании № 4 метод моделирования не был указан, то моделирование осуществлялось по методу исключения.

Для оценки качества моделируемой выборки будем использовать критерий

  , (7)

где n – объем выборки,  - количество элементов выборки, попавших в i-ый интервал разбиения, Pi – вероятность попадания в i-ый интервал, а r – количество интервалов.

Для вычисления Pi, там где возможно, а именно в заданиях (1)-(4),(6), было получено явное выражение для функции  распределения, а в для задания (5), чтобы определить значения функции распределения применялось численное интегрирование (метод Гаусса-2).

Исследования качества полученных выборок производилось при r=16 (количество степеней свободы 15).

Так как все алгоритмы моделирования случайных величин с функциями распределения (1)-(6) были сведены к моделированию равномерно распределенных на отрезке [0,1] случайных величин, то в качестве генератора последних использовалась следующая схема:

  (8)

3. Результаты

, где  - вероятность отвергнуть верную гипотезу.

(1):=1

Объем выборки	Статистика	Квантиль
		Знач.	P
500	3.358886	4.60092	.995
1200	2.071985	4.60092	.995

(2):a=2,b=3,c=a(a+b)/(2a+b)

Объем выборки	Статистика	Квантиль
		Знач.	P
500	6.331054	7.26094	.950
1200	8.504591	8.54676	.900

(3):c=12/23

Объем выборки	Статистика	Квантиль
		Знач.	P
500	7.422883	8.54676	.900
1200	7.128061	7.26094	.950

(4):a=1,

Объем выборки	Статистика	Квантиль
		Знач.	P
500	2.996870	4.60092	.995
1200	8.434340	8.54676	.900

(5):

Объем выборки	Статистика	Квантиль
		Знач.	P
500	2.527668	4.60092	.995
1200	8.533080	8.54676	.900

(6):a=1,b=3,

Объем выборки	Статистика	Квантиль
		Знач.	P
500	3.163118	4.60092	.995
1200	3.060095	4.60092	.995

4. Анализ результатов

(1):

Гипотеза  принимается в обоих случаях с  высокой вероятностью.

(2):

Гипотеза  принимается в обоих случаях с достаточно высокой вероятностью. Но в этом случае с увеличением объема выборки произошло некоторое ухудшение ее качества, это можно  объяснить тем, что параметры схемы (8) оказались более эффективными для выборки объема 500, нежели для 1200.

(3):

Данный метод позволил смоделировать выборки приличного качества. Это объясняется тем, что для генерации наборов случайных величин с объемами 2,3 и 4  использовался один генератор, и из выборки построенной этим генератором последовательно извлекались 2,3 или 4 элемента, которые в общем случае могли и не быть равномерно распределенными.

(4):

Гипотеза  принимается в обоих случаях с достаточно высокой вероятностью. Но в этом случае с увеличением объема выборки произошло некоторое ухудшение ее качества, это можно  объяснить тем, что параметры схемы (8) оказались более эффективными для выборки объема 500, нежели для 1200.

(5):

Гипотеза  принимается в обоих случаях с достаточно высокой вероятностью. В данном случае с увеличением объема выборки опять произошло некоторое ухудшение ее качества, причины можно объяснить также как и в ситуации с (2) и (4).

(6):

Гипотеза  принимается в обоих случаях с высокой вероятностью.

5. Вывод

 При помощи всех методов были получены выборки хорошего качества. Так как в основе каждого метода лежит генерация равномерно распределенных случайных чисел, то качество выборок, имеющих произвольное распределение, напрямую зависит от качества последовательностей чисел, имеющих равномерное распределение. По вычислительным затратам лучше являются методы: исключения и порядковых статистик.