Методы моделирования детерминированных и стохастических процессов.

МО и ПО РФ

НГТУ

Методы моделирования детерминированных и стохастических процессов.

Группа: ПММ-51

Студент: Шнитко А.Г.

Преподаватель: Бердников В.С.

Новосибирск - 2000
Содержание.

1.     Флуктуации в термодинамических системах (равновесных и неравновесных). Аномальный рост флуктуаций в предпороговом состоянии в системах гидродинамического типа. Броуновское движение. Процессы Маркова.................. 3

2.     Модель ламинарно-турбулетного перехода Ландау-Хонфа. Квазипериодическое движение, его фазовый портрет, амплитудно-частотные характеристики, спектры. Основные характеристики развитой турбулентности. Основные закономерности синхронизации. Синхронизация осцилляторов, захват частот. Резонансы........... 8

3.     Странные аттракторы. Диссипация и аттракторы. Явления притяжения; следствия из сокращения площадей. Апериодические аттракторы. Характеристики хаотического режима, свойства апериодических аттракторов.......................................................................... 13

4.     Релей-Бенаровская конвекция. Модель Лоренца, ее физическая интерпретация и основные свойства. Измерение размерности странных аттракторов. Фрактальная размерность. Модель Керри-Йорке. Сценарий перехода к хаосу Рюэля-Такенса. Квазипериодичность.............................................................................................................................................. 17

5.     Бифуркации удвоения. Переход к турбулентности путем удвоения периодов. Субгармонический каскад............................................................................................................................... 31

6.     Переход к хаосу через перемежаемость I-III типов. Их физическая специфика и интерпретация............................................................................................................................................................. 41

7.     Логистическое уравнение........................................................................................................................ 42

1.  Флуктуации в термодинамических системах (равновесных и неравновесных). Аномальный рост флуктуаций в предпороговом состоянии в системах гидродинамического типа. Броуновское движение. Процессы Маркова.

Введение. Явление броуновского движения хорошо известно. Оно было открыто в 1827 г. ботаником Броуном, обратившим внимание на непрекращающееся хаотическое движение маленьких частиц (спор грибов) в жидкости.

Броуновское движение объясняют наличием неуравновешивающихся толчков молекул или атомов окружающей броуновскую частицу среды. В каждый момент времени движение броуновской частицы определяется равнодействующей сил отдельных атомов. Вследствие хаотического движения атомов это и приводит к весьма сложному и непрекращающемуся движению броуновских частиц.

Явление броуновского движения послужило толчком к созданию теории флуктуации. В результате, благодаря работам Ланжевена, Эйнштейна и Смолуховского, были заложены основы современной теории броуновского движения.

В настоящее время установлено, что явление броуновского движения имеет существенно большее значение, чем это предполагалось ранее. Так, например,  броуновское движение играет принципиальную роль в формировании спектров колебаний в генераторах любой природы (электронных, полупроводниковых, квантовых оптических генераторах — лазерах и т. д.).

Уравнение Ланжевена. Представим броуновскую частицу в виде шарика радиуса R и массы m, который движется в жидкости со скоростью v. При малых числах Рейпольдса, т. е. при условии сила, действующая на шарик, определяется выражением Это формула Стокса.   -  динамическая вязкость (— кинематическая вязкость),   — коэффициент трения.

Уравнение движения шарика с учетом лишь силы Стокса не описывает броуновского движения. Вследствие этого Ланжевен ввел в уравнение движения дополнительную силу и записал уравнения

В правую часть уравнения движения здесь введена новая сила  my(t), существование которой не следует из уравнений гидродинамики. Она возникает из-за наличия флуктуации гидродинамических (или газодинамических) функций. Происхождение этих флуктуации обусловлено тем, что окружающая броуновские частицы среда не является непрерывной, а имеет атомно-молекулярное строение. Наличие такой силы постулируется. Эта сила впервые была введена Ланжевеном и поэтому называется силой Ланжевена или ланжевеновским источником.

Ланжевеновский источник - случайная функция времени. Если окружающая среда находится в состоянии равновесия, то соответствующий случайный процесс является стационарным. В этом случае для каждой компоненты   оба направления равноправны, поэтому среднее значение (первый момент)

Разделение силы на две части (силу Стокса и силу Ланжевена) имеет смысл, если время корреляции ланжевеновского источника 

.

В нулевом приближении по параметру  время корреляции источника можно считать равным нулю. Такой случайный источник называется  - коррелированным. Именно таким и представлял себе Ланжевен случайный источник в уравнении для броуновской частицы. Формулировка этого условия была, однако, иной, так как -функции были введены значительно позднее Дираком при создании квантовой теории. Итак, вторые двухвременными моменты ланжевеновского источника  определяются выражением  где D — интенсивность ланжевеновского источника. Наличие символа Кронекера показывает, что разные компоненты  некоррелированы — статистически независимы, наличие -функции  - что время корреляции  пренебрежимо