Метод простой итерации

Задание: Реализовать метод простой итерации для задачи:

квадратичные базисные функции, первые и вторые краевые условия, неявная двухслойная схема, считать постоянной на КЭ.

Решение:

Решая нестационарную задачу , будем аппроксимировать по времени решение  используя схему:

Для каждого получаем матричное уравнение вида:

Считая известным, получаем СЛАУ для вектора неизвестных :

Далее при нахождении матрицы возникает необходимость посчитать матрицу

, а именно

Окончательно для подсчета выражения понадобится найти .

Далее решая нестационарную задачу, будем аппроксимировать по времени решение используя схему:

Для каждого получаем матричное уравнение вида:

Считая известным, получаем СЛАУ для вектора неизвестных :

Поскольку базис- квадратичные крышки, т.е с учетом замены  получаем систему функций на каждом конечном элементе вида:

Учитывая все описанное, выше получаем матрицу жесткости вида:

Отдельно для нахождения  посчитаем выражение:

Матрица массы будет иметь вид:

И, наконец, вектор правой части мы будем считать, как произведение матрицы массы на вектор значений функции  в узлах сетки, т.е. .

Далее взяв начальное приближение и построив матрицу жесткости на данном временном слое, получаем матрицу СЛАУ вида . Теперь определим правую часть, умножив матрицу массы на вектор начального приближения  и посчитав вектор  на данном временном слое и т.д.

Краевые условия будем учитывать следующим образом: для учета первых краевых будем ставить на диагональ матрицы “большое число”, а на соответствующее место в векторе правой части большое число, умноженное на значение функции-решения в узле; для учета вторых краевых  будем аппроксимировать их как при построении матрицы жесткости:

.

Тестирование:

Шаг по времени будем выбирать не равномерный, а пространственный равномерным.

: