Метод моделирования дискретных случайных величин

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НГТУ

Кафедра ПМ

Лабораторная работа №2

Факультет:                 ПМИ

Группа:                      ПМ-86

Студенты:                  Рощина Т.Е.

Кочанов М.В.

Юркевич.А.

Преподаватели:         Тимофеев.В.С

Тишковская.С.В  

Вариант:                    д

Новосибирск-2001

1.Цель работы

Изучение методов моделирования дискретных случайных величин , эксперементальное исследование качества последова тельностей.

2.Задание

Осуществить моделирование случайной величины , распределенной попуассоновскому закону:

p_i =P{ ξ =i}= λ ⁱ *e^-λ / (i !)                       i=0,1,2......                                              (1)

Произвести анализ качества полученной последовательности псевдослучайных величин ,используя критерий    χ²

3.Схема моделирования

Вработе был применен общий алгоритм моделирования дискретных случайных величин ,приведенный в методических указаниях [1] к лабороторной работе .

1.Генерируем значение S равномерно распределенной на интервале [0,1] с.в.

2.Положим i=0

3.  S:=S-p_i

4.  Если S<=0 ,принимаем i в качестве значения с.в. ξ ,иначе i:=i+1;goto 1

Как можно легко проверить , значения р_i и p_i-1 связаны соотношением р_i = p_{i-1 *} λ / i                                                                         (2)

p₀ найдем в соответствии с формулой (1) ,а р_i   ,0<i<=n, получим ,используя соотношение (2) .Кроме того ,(1)для i=0 также в целях оптимизации вычислений упростим следующим образом:                    

p₀₌ e^-λ ;

4.Анализ качества псевдослучайнойпоследовательности

Статистикка критерия    χ²   проверки гипотезы о распределении выглядит следующим образом :

X²_m =∑^j=M_j=1  (ν_j –mp⁰_j)²/ (mp⁰_j)

Здесь M – это кл-во интервалов группирования выборки ,m-объем выборки,

ν_j – кол-во эл-тов выборки ,попавших в j-ый интервалб p⁰_j –предполагаемая вероятность того, что с.в. окажется в j-ом интервале.

При достаточно большом m гипотеза отом что  данная выборка представляет собой выборку из некоторого распределения ,которому соответствуют данные значения p⁰_j ,не отвергается с уровнем значимостикриттерия α , если

                            

                                              X²_m < χ²_{1 –α}(M-1)

Разобьем отрезок на n+1 интервалов причем      

p_n+1=1- ∑^j=n_j=1    p _j  ;

        Пусть M=n+1; В качестве ν_j  где j=0,1,2.....,положим α=0.05

5.Результаты

1.Положим n=2 , ν=0.5 , m-объем выборки =100

Значения ξ ,i	0	1	2
Вероятность p i	0.607252	0.303626	0.089122
νj	69	25	6

X²₁₀₀= 3.02632 < χ²_{1 –0.05}(2 ) =  5.99

2.Положим n= 8, ν=6 , m-объем выборки =100

Знач ξ ,i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
p i	0.0025	0.0150	0.0452	0.9051	0.1357	0.1629	0.1629	0.1396	0.2453
νj	1	3	5	7	18	17	18	12	19

X²₁₀₀=  7.39229 < χ²_{1 –0.05} (8) =15.5

3.Положим n=4 , ν=1 , m-объем выборки =100

Значения ξ ,i	0	1	2	3	4
Вероят  p i	0.368755	0.368755	0.184377	0.061459	0.016653
νj	40	41	13	5	1

X²₁₀₀=2.80928 < χ²_{1 –0.05} (4 ) =9.49

4.Возьмем еще несколько значений

Объем выборки	N	X2m	χ21 –0.05
1000	4	3.38058	9.49
10000	5	4.74487	11.1
100000	5	6.29917	11.1

6.Заключение

Использованная схема  моделирования  с.в. имеющей  пуассоновское распределение (1) ,вполне отвечает своему предназнаечнию, так как с ее помощью удалось получить большие качественные выборки .

7.Текст программы

#include <iostream> //i/o

#include <stdlib.h> //rand()

#include <math.h>

typedef double type;

type* Ps;

int N,n,k,sdv,SampleSize; 

type la,f;

int* sample;

void initPs()

{

type exp,ss;

Ps=new type[n+1];

f=1.0;

exp=2.71182818 ;

sdv=1;

Ps[0]=pow(exp,-la);

type sum=Ps[0];

cout<<"P"<<endl<<" & "<<Ps[0];

for(int i=1;i<=n-1;i++)               

{

Ps[i]=Ps[i-1]*la/i;

sum+=Ps[i];

cout<<" & "<<Ps[i];

}

Ps[n]=1.0-sum;

cout<<endl;

cout<<" & "<<Ps[n];

cout<<"Check sum for Ps: "<<sum<<endl;

}

type chi()

{

type res=0;

cout<<endl<<"Sample:"<<endl;

for(int i=0;i<=n;i++)

{

cout<<" & "<<sample[i];

res+=(sample[i])*(sample[i])/(SampleSize*Ps[i]);

}

res-=SampleSize;

cout<<endl;

return res;

}

int generate()

{

type S=rand();

S/=RAND_MAX;

int m=-1;

do

{      m++;

S-=Ps[m];

}while(S>0);

return m;

}

int main()

{

cout<<"Input n,la:"<<endl;

cin>>n>>la;

cout<<"Size of sample: ";

cin>>SampleSize;

initPs();

sample=new int[n+1];

for(int i=0;i<=n;i++)

sample[i]=0;

int cur;

for(int i=0;i<SampleSize;i++)

{        cur=generate();

sample[cur]++;

//        cout<<cur<<" ";

}

cout<<"chi^{2}_{"<<(n+1)<<"}="<<chi();

return 0;

}