ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1,2.
Тема: Комплексные числа и действия над ними.
Комплексными
числами (к.ч.) называются пары (
) действительных чисел 
и 
, если
для них определены понятия равенства и операции сложения и умножения следующим
образом:
1. Два к.ч. (
) и (
) равны 
, 
.
2. Суммой двух к.ч. () и ()
называется к.ч. (
) .
3.
Произведением к.ч. () и ()
называется к.ч. (
)
Каждое к.ч. () принято обозначать символом 
и оно представимо в алгебраической
форме: 
. Число называется
действительной частью к.ч. , обозначается Re; число называется
мнимой частью к.ч. , обозначается символом 
.
Величина 
называется модулем к.ч. , обозначается символом 
: =.
Любое число 
, удовлетворяющее равенствам 
, 
,
называется аргументом к.ч. , обозначается символом 
. Аргумент определен для z¹0 лишь с
точностью до любого слагаемого, кратного 2p,
то есть j=argz+2kp, kÎZ. Для
однозначных функций 
, kÎZ и arctg
.
Тригонометрической
формой к.ч. называется его запись в виде 
.
В показательной
форме к.ч. имеет вид 
или 
, где 
=
(формула Эйлера).
К. ч. 
называется сопряженным с к.ч. 
, обозначается символом 
: 
, если .
Ответить на вопросы.
1. Перечислить свойства операций сложения и умножения к.ч.
2. Определить операции вычитания и деления на множестве к.ч.
3. Определить операцию извлечения корня степени n, n- целое, на множестве комплексных чисел.
4. Записать число x+iy как результат действия над парами.
5. Показать, что i2= -1.
6. Показать, что множество действительных чисел может быть рассмотрено как подмножество комплексных чисел.
7. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел.
Практическая часть.
1. Выполнить действия:
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
; 5.
.
2. Найти модули и аргументы комплексных чисел
1.
;
2. -3;
3.1+
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
.
3. Доказать равенства:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
Примечание.
4. Дать геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим соотношениям:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
;
11. 
;
12. 
;
13. 
, 
;
14. 
;
15. 
;
16. 
, a>0;
17. 
;
18. 
;
19. 
;
20. 
.
5. Какие линии записаны уравнениями:
1. 
; 2.
; 3.
; 4.
.
6. Найти все решения систем уравнений:
1.
2. 
7. Записать с помощью неравенств следующие множества комплексной плоскости:
1. Полуплоскость, расположенная справа от мнимой оси.
2. Первый квадрант.
3. Полуплоскость, расположенная выше действительной оси и состоящая из точек, отстоящих от действительной оси на расстояние, не меньшее 2.
4. Полоса, состоящая из точек, отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее 1.
5. Полукруг радиуса 1 (без
окружности) с центром в точке 
, расположенный слева от
мнимой оси.
8. Найти геометрический смысл следующих величин:
1.; 2.
; 3.
;
9. Доказать равенства
1. 
; 2. 
, 
; 3. 
.
10. Вывести формулы: 
, 
.
11. Вычислить суммы:
1. 
, 
2. 
,
3. 
,
4. 
,
5. 
6. 
12. Найти все решения уравнений:
1. 
;
2. 
;
3. 
= -1;
4. 
=64;
5. 
+1=0;
6. 
;
7. 
;
8. 
.
13. Пусть 
-произвольный корень
степени 
из единицы, отличный от единицы. Доказать:
1. 
;
2. 
;
Ответы и указания.
1. 1. 
; 2. ; 3. -1;
4. 
; 5. 2.
2. 1.=1, 
, 
;
2. 
, 
, 
;
3. 
, 
, ;
4. 
, 
, ;
5. 
, , ;
6. , 
, ;
7. 
, 
, ;
8. 
, 
, ;
9.
, 
, ;
3. Воспользоваться определением модуля и аргумента комплексных чисел.
4. 1. Полуплоскость, расположенная справа от мнимой оси (точки оси не включаются);
2. Полуплоскость, расположенная
ниже горизонтальной прямой, проходящей через точку 
(точки
прямой включаются);
3. Полоса, состоящая из точек, расстояние от которых до мнимой оси меньше 1;
4. Прямоугольник с вершинами в
точках 
, 
, 
, (стороны
не включаются);
5. Круг радиуса 1 с центром в
точке (включая окружность);
6. Вся плоскость, из которой
удален круг радиуса 1 с центром в точке вместе
с его окружностью;
7. Круг радиуса 2 с центром в
точке 
(точка и
окружность не включаются;
8. Кольцо между окружностями
радиуса 1 и 3 с общим центром в точке 
(окружности
не включаются);
9. Угол величиной 
с вершиной в точке ,
расположенной выше действительной оси (стороны угла не включаются);
10.Угол
величиной 
с вершиной в точке ,
биссектрисой которого является отрицательная часть действительной оси (стороны
угла не включаются);
11.Прямая,
проходящая через середину отрезка, соединяющего точки 
и
, перпендикулярно этому отрезку;
12.Парабола,
директрисой которой является мнимая ось, а фокусом - точка =1;
13.Эллипс с
фокусами в точках , с
большой полуосью, равной 
;
14.Гипербола
с фокусами в точках , с
действительной полуосью, равной ;
15.Внешность
круга 
;
17. Правая
половина круга радиуса 1 с центром в точке ;
18. Угол
величиной с вершиной в точке ,
стороны которого проходят через точки и ;
19. Часть
плоскости, лежащая с той же стороны параболы 
, что и
точка и ограниченная этой параболой;
20.
Полуплоскость, содержащая точку и ограниченная
касательной к окружности радиуса 1 и центром в нуле, проведенной в точке 
;
5. 1. Окружность,
построенная на отрезке 
, как на диаметре.
2. Окружность радиуса 1 с
центром в точке .
3. Действительная ось.
4. Окружность радиуса с центром в точке .
6. 1. 
, 
; 2.
, 
;
7. 1.
>0; 2.>0, >0; 3.
2; 4.<1; 5.<1, <0.
8. 1.
Расстояние от начала координат до точки ;
2.
Расстояние от мнимой оси до точки
3.
Расстояние от действительной оси до точки
9. Воспользоваться
определением выражения и тригонометрическими формулами.
10. Воспользоваться формулой Эйлера.
11. Рассмотреть суммы: 
; 
и т.д..
В задаче 6 воспользоваться формулой бинома Ньютона.
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
6. 
.
12. Исходить из определения равенства комплексных чисел.
1. 
, 
;
2. 
, 
;
3. 
, 
, 
;
4. 
, 
=0,1,2,3,4,5;
5. 
, 
;
6. 
, 
;
7. =0, =1, 
, 
, 
;
8. 
.
Решения.
2. 6. z=
; |z|=
=1.
cosj=
, sinj=sin
-
эти два соотношения определяют аргумент к.ч. z. Из второго равенства имеем j= (-1)k+kp, k-
целое. Из этого множества решений первому равенству удовлетворяют только углы,
расположенные во второй четверти, а именно: j=
+2kp.
3. 9. Пусть z1=x1+iy1,
z2=x2+iy2. Вычислим
сначала 
:
= (x1+x2)-i(y2+ y1).
Вычислим теперь 
=(x1-iy1)+(x2-iy2)= (x1+x2)- -i(y2+ y1).
11, 13, 14. Выражения, записанные под этими номерами, являются определениями тех кривых, которые приведены в ответах.
4.
16. Re
, a>0.
Re
=Re
. Имеем: 
>
<ax
.
Следовательно, множеством точек, удовлетворяющих соотношению Re, является внутренность круга радиуса 
с центром в точке 
.
11. 5.
sin(a+b)+sin(a+2b)+
+sin(a+nb), a,b¹0 (mod 2p).
Выражение является мнимой частью суммы S=
. Найдем ее. Заметим, что S- это сумма первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем 
, поэтому S=
=
=
= =(cosa+isina)
=
=
ImS=
.
12. 8.
|z|-z=1+2i; Пусть z=x+iy Þ |z|=. Уравнение
принимает вид: -x-iy=1+2i Û 
Û 
Û 
Û 
.
Следовательно,
решением является к.ч. 
.
13. 1. Пусть равенство
имеет место
.
Здесь мы воспользовались следующими свойствами корня из единицы, не равного единице (примитивного корня):
1. Степень примитивного корня с показателями 2,3,,
равна одному из
остальных примитивных корней 
.
2. Сумма всех корней -ой степени из единицы
равна нулю.
Аналогично решается задача 2.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3
Тема: Последовательности и ряды комплексных чисел.
Для сходящейся
к числу 
последовательности 
=
имеет место утверждение: 
и 
.
Достаточным
условием сходимости последовательности к.ч. являются следующее условие. Пусть 
, где 
и 
.
Если 
и 
.
Для бесконечно
больших последовательностей (
, 
) справедливы следующие свойства:
1. Если 
0, =1,2,, то 
=0.
2. Если и 
, то 
и 
.
3. Если и 
, то 
и 
.
Для сходящегося ряда имеет место утверждение:
Ряд 
сходится тогда и только тогда, когда
сходятся ряды 
и 
.
Радиус
сходимости ряда 
, 
- к.ч. =1,2, определяется
формулой Коши-Адамара 
, 
.
Ответить на вопросы.
1. Дать определение предела последовательности комплексных чисел.
2. Перечислить свойства сходящихся последовательностей.
3. Сформулировать критерий Коши сходимости последовательностей к.ч.
4. Доказать теорему Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности к.ч. можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
5. Определить термин: "расширенная комплексная плоскость".
6. Дать определение предела
последовательности, равного 
.
7. Дать определение сходящихся, абсолютно сходящихся рядов
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.