Алгоритм моделирования дискретной СВ, распределенной по отрицательному биномиальному закону распределения

Индивидуальная работа по дисциплине «Моделирование и управление в экономике»

Выполнил Мульцын К.А., ПМ-91, Вариант 18.

1. (г) Написать алгоритм моделирования дискретной СВ, распределенной по отрицательному биномиальному закону распределения:

1)  Берем  как СВ, равномерно распределенную на ,

2)  , где  получены по реккурентной формуле ,

3)  Если , то ,

Иначе увеличиваем  и переходим на шаг 2

4)  Если нужно получить еще одну СВ, то переходим на шаг 1

Здесь .

2. (и) Найти методом обратной функции моделирующее выражение для СВ , с плотностью распределения ,

Найдем  исходя из того факта, что

Найдем функцию распределения для этого закона:

Найдем  из уравнения , где

Выражение под корнем положительно, т.к. логарифм меньше нуля в силу того, что , а

3. (и) Найти моделирующее выражение для СВ , имеющей плотность распределения ,  по методу обратной функции, когда  немонотонна.

Разобьем  на сумму , где  и .

Найдем величины , :

Соответствующие функции распределения:

Найдем обратные функции:

Алгоритм:

1)  Моделируем дискретную случайную величину  с рядом распределения

т.е. если  и , то , иначе

2)  , где

4. (в) Написать алгоритм моделирования СВ , распределенной с плотностью ,  с использованием порядковых статистик.

Найдем  из условия :

Представим плотность вероятности в виде полинома Бернштейна:

Алгоритм:

1)  Моделируем случайную величину

2)  Если , моделируем 4 СВ и берем в качестве  3-ью порядковую;

если , моделируем 3 СВ и берем в к-ве  2-ю порядковую;

если , моделируем 2 СВ и берем 1-ю порядковую статистику.

3)  Если нужна еще одна СВ, то на шаг 1.

5. (б) Написать алгоритм моделирования СВ  с плотностью распределения , где  и . Сделаем это по методу исключения.

Найдем  из условия :

При  (при ) функция  возрастает, а в противоположном случае – становится целиком отрицательной, что недопустимо для функции плотности вероятности, следовательно случаи  мы не рассматриваем. Но тогда функция достигает своего максимума в точке  и он равен .

Алгоритм:

1)  Моделируем две СВ  и

2)  Если , то , иначе на шаг 1

Событие шага 2 произойдет с вероятностью .

6. (б) Написать алгоритм моделирования СВ  с плотностью распределения , ,  по методу суперпозиции.

Функция плотности вероятности представима в виде, указанном в теореме о методе суперпозиции: , где , а , где коэффициенты  подбираются с тем условием, чтобы  и . Тогда алгоритм моделирования выглядит следующим образом:

1)  Моделируем дискретную СВ с рядом распределения

2)  Моделируем искомую СВ , например по методу обратной функции: ,

7. (е) Написать алгоритм моделирования случайной величины  с плотностью , где , по методу исключения.

Найдем коэффициент С из соотношения :

Выясним поведение функции на интервале :

 тогда  и на последнем промежутке функция возрастает, следовательно максимальным будет значение функции при , т.е.

Алгоритм:

1)  Моделируем две СВ  и

2)  Если , то , иначе на шаг 1

Событие шага 2 произойдет с вероятностью .

8. (г) Составить алгоритм моделирования случайного вектора , распределенного в области , с плотностью .

Найдем коэффициент :

Найдем плотность распределения :

Тогда плотность условного распределения будет следующей:

Алгоритм:

1)  Моделируем СВ  с законом распределения

2)  Моделируем СВ  с законом распределения

3)  Искомый случайный вектор получен:

9. (е) Составить алгоритм моделирования случайного вектора  распределенного в области  с плотностью  по методу исключения.

Определим константу :

Максимум этой функции достигается в точке  и равен

Алгоритм:

1)  Моделируем 3 независимых СВ  и

2)  Если , то , иначе на шаг 1

Точка не будет исключена с вероятностью .

10. (в) Найти моделирующее выражение для нормального случайного вектора  с дисперсионной матрицей  и математическим ожиданием .

Моделирующее выражение для многомерной нормальной СВ выглядит следующим образом:

, где  - вектор независимых стандартных нормальных СВ.

Необходимо посчитать коэффициенты матрицы :

,  ,  ,

, , 

Тогда матрица .

11. (5) Написать алгоритм моделирования одномерного стационарного гауссовского марковского процесса с нулевым априорным средним и одномерной корреляционной функцией вида:

,

Найдем условное математическое ожидание:

Алгоритм:

1)  Моделируем СВ ,

2)  Моделируем состояние в момент :

3)  Увеличиваем , моделируем СВ

4)  Моделируем состояние в момент :

     

5)  На шаг 3