Численные методы и оптимизация

Московский  технический университет по связи и информатике

Заочная форма обучения

Курсовая работа по предмету:

Информатика

Тема: Численные методы и оптимизация

Студента 2 курса

Специальности 201000

Студенческий билет

№

Преподаватель:

2004 год

Задание

1. Для заданной функции y(x) методом наименьших квадратов для степенного базиса получить линейную F₁(x) = a₀ + a₁x и квадратичную F₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² аппроксимирующие функции:

-  составить и решить систему нормальных уравнений;

-  определить параметры аппроксимирующих функций;

-  вычислить значения аппроксимирующих функций в узлах аппроксимации;

-  построить график заданной функции (множество точек) и графики функций линейной и квадратичной аппроксимации;

-  оценить качество аппроксимации.

2. Найти два корня уравнения F₂(x) = 0 с заданной точностью Е:

-  отделить корни;

-  проверить (аналитически) условия сходимости применяемых методов решения уравнений. В случае необходимости привести уравнение к виду, обеспечивающему сходимость процесса приближения к корню;

-  выбрать начальное приближение;

-  записать рекуррентную формулу для уточнения корня;

-  оценить погрешность.

3. Вычислит dx при разбиении отрезка интегрирования на

n₁ = 10 и  n₂ = 20 подынтервалов , x₁,  x₂ - корни уравнения :

-  оценить погрешность.

4. Определить точку экстремума функции F₂(x) методами одномерной оптимизации (с точностью Е):

-  проверить условие унимодальности и выбрать начальный отрезок оптимизации;

-  записать условие окончания поиска минимума (максимума) функции.

Задание 1. Функция y = y(x) задана таблицей.

Таблица 1

Запишем параметры линейной аппроксимации:

x = = 4.285                      y =   = 0.043

a₀ = y – a₁x = 1.170952

a₁ =   = -0.2241571

Искомая линейная аппроксимирующая функция:

F₁(x) =-0.2241571х+1.170952

Составим и решим систему нормальных уравнений для определения параметров многочлена второй степени           F₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x²

 

 (n+1)a₀ + ( Σx_i )a₁ + ( Σx_i²)a₂  = Σ  y_i

 ( Σx_i )a₀ + ( Σx_i²)a₁ + ( Σx³)a₂   = Σ  x_i y_i

 (Σx_i²)a₀ + ( Σx_i³ )a₁ + ( Σx_i⁴)a₂  = Σ  x_i² y_i .

Система нормальных уравнений:

 6а₀      30а₁         +  220а₂   = 0.301

30а₀  +  220а₁      -  1800а₂  =  -14.186

220а₀  - 1800а₁   +  15664а₂ = -130.668

Решение системы нормальных уравнений:

а₂ = 2.545535Е-02   а₁ = -0.4787107   а₀ = 1.510357

Искомая аппроксимирующая функция:

F₂(x) = 2.545535E-02x² – 0.4787107 x1.510357

Значения аппроксимирующих функций F1{x} и F2{x} в узлах аппроксимации приведены в таблице 3:

X	0	2	4	6	8	10
F1{x}	1.170952	0.722638	0.274323	-0.1739	-  0.6223	-1.0706
F2{x}	1.51035	0.65475	2.799E-03	-0.4455	-0.6901	-0.7312

Таблица3

Графики  функций  линейной  и  квадратичной  аппроксимации  показаны  на рисунке

Оценим качество аппроксимации:

ρ = sqr(1/(n+1)* ∑ (F_m(x_i) – y(x_i))²)  

^{Для линейной функции: р1=0.5999658}

^{Для квадратичной функции: р2=0.5435526}

      p2<p1, значит аппроксимация квадратичной функции более качкственная.

Задание 2.  Решение уравнения F₂(x) с точностью Е = 10^-4 . Для отделения корней уравнения F₂(x)

составим таблицу знаков функции F₂(x).

                                                                                                                     Таблица 4

X	-1	1	3	5	7	9	11	13	15
Sign F2(x)	+	+	+	-	-	-	-	-	+

На отрезках [3 5] и [12 15] функция F₂(x) меняет знаки, т.е. существует, по крайней мере, по одному корню.

Производная F₂'(x) = 0.051x-0.4787107,

F₂"(x) = 0.051 > 0, следовательно, производная F₂'(x) - монотонно возрастающая функция.

Составим таблицу знаков функции Аэ(ч) на выбранных отрезках:

X	3	5	13	15
Sign F2’(x)	-0.32571	-0.2237	0.18423	0.2863