Розв’язок методом алгоритму RADAUS. Реалізація перетворення Лапласа засобами MathCAD, страница 3

Серед арсеналу вбудованих функцій MathCAD розглянемо роботу функції rkfixed. При роботі функції rkfixed реалізується алгоритм розв’язання системи рівнянь методом Рунге-Кутта 4-го порядка (rk) з фіксованим кроком інтегрування (fixed). Згідно з синтаксисом MathCAD функція має 5 аргументів: rkfixed(v, x1, x2, npoints, f) , де v - вектор початкових значень для шуканого розв’язку; х1 та х2 - значення точок початку та кінця відрізка інтегрування; npoints - число точок інтегрування; f –вектор-функція правих частин системи диференціальних рівнянь.

Формування вектора-функції f потребує дотримання певних вимог. Як правило, ця функція попередньо оголошується перед застосуванням функції rkfixed у вигляді f(t,x) := [вектор правих частин системи ДР], де t – незалежна змінна ; x – вектор шуканих функцій. Права частина конструкції містить вектор правих частин системи диференціальних рівнянь, причому кожна з шуканих функцій записується у вигляді індексної змінної x, тобто x₀, x₁ тощо. Кількість елементів вектора x, як і кількість елементів вектора правих частин системи дорівнює кількості рівнянь у ній.

Як вже вказувалось, при роботі функції rkfixed інтегрування ведеться з фіксованим кроком. Зауважимо, що користування функцією rkfixed не завжди доречне, а іноді навіть неефективне. Якщо на певному відрізку інтегрування похідна функції раптово різко змінюється, то фіксованого кроку інтегрування недостатньо для отримання точного результата. В цьому випадку рекомендується використовувати функцію Rkadapt, яка використовує адаптований крок інтегрування, тобто в процесі роботи цієї функції крок інтегрування вибирається автоматично в залежності від поведінки системи рівнянь на певному етапі чисельного інтегрування.

Розв’язок методом Рунге-Кутта з фіксованим кроком

Розв’язок методом Рунге-Кутта зі змінним кроком

Висновки

Використовуючи обчислювальний пакет MathCad 14 у даній курсовій роботі були вивчені чисельні методи розв’язку систем диференціальних рівнянь. У MathCAD немає універсальної функції для вирішення диференціальних рівнянь, а є близько двадцяти функцій для різних видів рівнянь, додаткових умов і методів рішення. В даному курсовому проекті використовувались методи Рунге-Кутта, Булирша-Штерна, Лапласа та вбудована функція: Radau (алгоритм RADAUS). Кожна з цих функцій реалізує свій метод рішення і призначена для свого класу задач. Всі вони дали схожі графіки рішень, що вказує на вірність методів.

Список використаної літератури:

1.  Каліткин М.М. Чисельні методи. – К., 2003

2.  Самарський А.А., Гулін А.В. Чисельні методи. – К., 2003

3.  Синіцин О.К., Навроцкий А.А. Алгоритми обчислювальної математики. – К., 2003

4.  Коробов В.І. Розв’язання дослідних хімічних задач в інтегрованих програмних середовищах (конспект лекцій)