Интерполяционная формула Лагранжа. Интерполяционная формула Ньютона. Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц

Страницы работы

8 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Вывести эмпирическую формулу зависимости нагрузки от времени. Характер зависимости установить графически. Определить погрешность вычислений.

Решение: 1 По табличным данным зависимости строим корреляционное поле (рисунок 1).

Рисунок 1

Рисунок 2

2 Согласно построенному графику принимаем, что зависимость между H и t носит линейный характер. Исходя из этого, эмпирическую формулу зависимости нагрузки от времени можно представить в виде аппроксимирующего многочлена первой степени Q(t) = a+a1t, где a0 и a1 – коэффициенты уравнения, которые находим методом наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений

где , , , , .

Составим таблицу

i

0

1

10

100

17,60

176,00

1

1

12

144

21,20

254,40

2

1

13

169

21,90

284,70

3

1

15

225

24,70

370,50

4

1

18

324

31,00

558,00

5

1

20

400

32,70

654,00

6

1

21

441

34,30

720,30

7

1

25

625

40,70

1017,50

S

8

134

2428

224,10

4035,40

Из таблицы: S= 8; S= 134; S= 2428; X= 224,1; X= 4035,40.

Подставляем эти значения в систему уравнений и решаем ее:

откуда a= 1,535286; a= 2,296458.

Эмпирическая формула зависимости имеет вид

                                        Q(t) = 2,296458 + 1,535286t.

3 На рисунке 2 строим график полученной функции Q(t) по двум точкам: Q(10) = 17,649318; Q(25) = 40,678608.

4 Для оценки погрешности вычислений найдём среднеквадратичное отклонение значения полинома Q(t) от заданного значения Н(t):

 

Составляем таблицу.

i

ti

Н(ti)

Q(ti)

[Q(ti)  Н(ti)]2

0

10

17,60

17,649318

0,0024323

1

12

21,20

20,71989

0,053133

2

13

21,90

22,255176

0,12615

3

15

24,70

25,325748

0,39156

4

18

31,00

29,931606

1,141466

5

20

32,70

33,002178

0,091312

6

21

34,30

34,537464

0,056389

7

25

40,70

40,678608

0,0004576

1,8628999

S = 1,8628999 кН2.

Вывод: Эмпирическая формула зависимости точечной нагрузки от времени имеет вид: Q(t) = 2,296458 + 1,535286t. Среднеквадратичная погрешность вычисления значения нагрузки (Н, кН) по этой формуле от заданной системы точек Н(t) составляет 1,8628999 кН2.

Задача 2. Численное интегрирование.

Постановка задачи: Требуется найти приращение капитала за период с момента времени t1 до t2, то есть величину , где I(t) – чистая инвестиция.

Значение интеграла определить, пользуясь составной формулой парабол (формулой Симпсона), приняв n = 10 и n = 20, оценить погрешность, сделать вывод. Интеграл вычислить с точность до 0,0001.

Пусть .

Решение: По формуле Симпсона имеем:

где ; ; ; ; n – всегда чётное.

Составляем таблицу значений  (таблица 2.1). В последней строке этой таблицы стоят числа, равные суммам чисел, находящихся в соответствующих столбцах.

При n = 10, имеем

Таблица 2.1

i

ti

y0, y10

yi (i – нечётное)

yi (i –чётное)

0

2,0

1,154701

1

2,2

1,264609

2

2,4

1,364331

3

2,6

1,455329

4

2,8

1,538972

5

3,0

1,616448

6

3,2

1,688748

7

3,4

1,756685

8

3,6

1,820915

9

3,8

1,881970

10

4,0

1,940285

S

3,094986

7,975041

6,412966

Из таблицы s= 7,975041, s= 6,412966, y= 1,154701, y10 = 1,940285. Подставив в формулу Симпсона эти значения, получим

Примем n = 20.

Таблица 2.2

i

ti

y0, y20

yi (i – нечётное)

yi (i –чётное)

0

2,0

1,154701

1

2,1

1,211018

2

2,2

1,264609

3

2,3

1,315652

4

2,4

1,364331

5

2,5

1,410832

6

2,6

1,455329

7

2,7

1,497991

8

2,8

1,538972

9

2,9

1,578414

10

3,0

1,616448

11

3,1

1,653190

12

3,2

1,688748

13

3,3

1,723218

14

3,4

1,756685

15

3,5

1,789227

16

3,6

1,820915

17

3,7

1,851810

18

3,8

1,881970

19

3,9

1,911447

20

4,0

1,940285

S

3,094986

15,942798

14,388007

В этом случае s= 15,942798, s= 14,388007, y= 1,154701, y20 = 1,940285. Подставив в формулу Симпсона эти значения, получим

Оценим погрешность вычислений:

|I10  I20| = |3,188072  3,188073| = 0,000001 £ e = 0,0001.

Вывод. Приближенное значение приращения капитала за период с момента времени t1 = 2 до t2 = 4, полученное по формуле Симпсона, составило 3,188073. Точность вычисления – 0,000001.

Задача 3 а. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Метод итераций.

Постановка задачи. Методом итераций решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001, предварительно оценив число необходимых для этого шагов

Решение. Число шагов, дающих наверняка ответ с точностью до 0,001, определим с помощью соотношения

.

Т.к. первая норма матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных в правых частях уравнений системы,  равна

то итерационный процесс сходится; . Имеем

; ;

;

; .

Вычисления располагаем в таблице:

k

k

0

2,15

–0,83

1,16

0,44

5

3,5662

–0,9644

1,4910

–0,8364

1

2,9719

–1,0775

1,5093

–0,4326

6

3,5703

–0,9593

1,4896

–0,8368

2

3,3555

–1,0721

1,5075

–0,7317

7

3,5713

–0,9576

1,4891

–0,8367

3

3,5017

–1,0106

1,5015

–0,8111

8

3,5714

–0,9571

1,4889

–0,8365

4

3,5511

–0,9783

1,4944

–0,8321

9

3,5714

–0,9570

1,4889

–0,8364

Сходимость в тысячных долях имеет место уже на девятом шаге.

Ответ: x» 3,571; x» –0,957; x» 1,489; x» –0,836.

Задача 3 б. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Метод Зейделя.

Постановка задачи. Методом Зейделя решить с точностью до 0,001 систему линейных уравнений, приведя её к виду, удобному для итераций, и оценив число необходимых для этого шагов

Решение. Приведём систему к виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк:

 

Число шагов, дающих наверняка ответ с точностью до 0,001, определим с помощью соотношения

.

Т.к. первая норма матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных в правых частях уравнений системы,  равна

то итерационный процесс сходится; . Имеем

; ;

;

; .

Вычисления располагаем в таблице:

k

k

0

0,19

0,97

–0,14

5

0,2467

1,1138

–0,2237

1

0,2207

1,0703

–0,1915

6

0,2472

1,1143

–0,2241

2

0,2354

1,0988

–0,2118

7

0,2474

1,1145

–0,2243

3

0,2424

1,1088

–0,2196

8

0,2475

1,1145

–0,2243

4

0,2454

1,1124

–0,2226

Сходимость в тысячных долях имеет место уже на восьмом шаге.

Ответ: x» 0,248; x» 1,115; x» –0,224.

Задача 4. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц.

Постановка задачи. Используя метод итераций определить первое (максимальное по модулю) и второе собственные значения матрицы и соответствующие им собственные векторы, имеющие первую норму, равную 1, с точностью до e = 0,001

.

Решение. Выберем произвольный ненулевой начальный вектор .

Строим последовательность векторов . Вычисления продолжаем до тех пор, пока расхождение между двумя последовательными приближениями собственных значений не будет превосходить величины e, т. е.  и .

Расчёты сведём в таблицу

A

2,4

0,8

3,3

0,8

1,4

1,7

3,3

1,7

0,6

Y(0)

1

1

1

Y(1)

6,5

3,9

5,6

6,5

3,9

5,6

Y(2)

37,2

20,18

31,44

5,723077

5,174359

5,614286

Y(3)

209,176

111,46

175,93

5,623011

5,523290

5,595738

Y(4)

1171,7594

622,4658

985,3208

5,601787

5,584656

5,600641

Y(5)

6561,75384

3483,905

5516,19036

5,599916

5,596942

5,598370

Y(6)

36738,7614

19504,39368

30886,14039

5,598924

5,598429

5,599180

Y(7)

205700,8056

109203,5989

172927,0661

5,599013

5,598923

5,598856

Y(8)

1151704,131

611421,6954

968215,0163

5,598929

5,598915

5,598979

Y(9)

6448336,824

3423319,206

5420969,524

5,598953

5,598950

5,598931

Y(10)

36103863,17

19166964,54

30351735,88

5,598942

5,598942

5,598950

Y(11)

202143571,66

107314791,89

169937629,71

5,598946

5,598946

5,598943

Y(12)

1131790583,54

600849536,49

951471510,52

5,598944

5,598944

5,598945

Y(13)

6336833014,41

3364123385,80

5327236044,02

5,598945

5,598945

5,598944

Y(14)

35479576888,49

18835540426,48

29826900329,81

5,598945

5,598945

5,598945

В результате проделанных расчётов собственное значение матрицы

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Контрольные работы
Размер файла:
569 Kb
Скачали:
0