Задачи на доказательство. Основные теоремы и некоторые наблюдения, страница 2

Решение. Забудем на время о том, что искомая окружность проходит через точку A. Сосредоточимся только на том, что окружность касается прямой l в данной точке B. Если из центра окружности O провести радиус в точку B, то . Следовательно, центр окружности лежит на перпендикуляре к l, проведенном через точку B. Теперь учтем тот факт, что искомая точка O равноудалена от A и B. Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Таким образом, искомая точка O является точкой пересечения указанных прямых (рис. ).

Задача 1.108. Дана окружность радиусом R с центром O и точка A внутри нее (OA = a). Провести через точку A хорду заданной длины l. Когда задача имеет решение?

Наводящие соображения. В задаче требуется: 1) провести хорду заданной длины l; 2) эта хорда должна пройти через заданную точку A. Если не обращать внимания на первое требование, то удовлетворить второму требованию очень просто: любая прямая, проведенная через точку A, образует хорду при пересечении с окружностью. Беда в том, что хорда может оказаться не той длины, какой нужно. Необходимо из множества всех возможных прямых выделить ту, которая даст хорду длины l. Все прямые, проведенные через заданную точку A, образуют различные углы с прямой OA (рис. ). Из всего этого множества нужно выделить только те значения угла, которые дадут требуемую длину хорды

Вопрос

Как построить угол OAN исходя из данных в условии задачи?

Решение. Предположим, что искомая хорда MN уже построена, а точка E – ее середина (рис. ). В прямоугольном треугольнике OEM известны гипотенуза OM = R и катет . Отрезок, равный OE можно построить. Для этого на отрезке  как на диаметре построим полуокружность (рис. ). Из точки D как из центра опишем дугу радиусом , которая пересечет полуокружность в точке C, при этом треугольник BCD равен треугольнику OEM и BC = OE (докажите). Теперь мы можем в треугольнике BCD построить точку K аналогичную точке A в треугольнике OEM. Для этого из вершины B как из центра проведем дугу радиусом a, которая пересечет отрезок CD в точке K (если ). Построенный угол BKC равен искомогу углу OAN. Длину BC можно найти из треугольника BDC по теореме Пифагора: . Таким образом, задача имеет решение при .  Теперь проведем через точку A прямую, образующую с OA угол равный BKC. Можно провести две таких прямых; они симметричны относительно прямой OA. Хорды, высекаемые окружностью на этих прямых будут заданной длины l.

Задача 1.114. Вписать в данный треугольник ABC квадрат так, чтобы две вершины квадрата лежали на стороне AB.

Подсказка

Предположим, что требования в условии выполнены лишь частично. Нам удалось построить квадрат MNKP, у которого вершины K и P лежат на стороне AB, вершина M лежит на стороне AC (рис. ), но вершина N не лежит на стороне BC, а находится внутри треугольника. Построенный квадрат почти удовлетворяет условию, но все-таки имеет один недостаток: вершина N «не дотягивается» до стороны BC, размер квадрата MNKP меньше нужного. Квадрат MNKP необходимо увеличить в размере, но при этом сохранить все его полезные свойства. При увеличении размера точка M должна  перемещаться по стороне AC, а точки K и P стаскользить по стороне AB. По какой линии будет при этом перемещаться точка N? Когда она окажется на стороне BC?

Решение. Построим произвольный квадрат MNKP, у которого вершины K и P лежат на стороне AB, а вершина M лежит на стороне AC. Проведем прямую AN. Из точки N₁ пересечения этой прямой со стороной BC проведем  и N₁M₁ êê AB (рис. ). Наконец, из точки M₁ проведем  и получим прямоугольник M₁N₁K₁P₁. Из подобия треугольников AM₁N₁ и AMN имеем , а из подобия треугольников AM₁P₁ и AMP имеем . Отсюда M₁N₁ = M₁P₁, т. е. построенный прямоугольник M₁N₁K₁P₁ – квадрат.