Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 4

В трапеции ABCD с основания AD и BC таковы, что AD=3BC. На сторонах AB и CD выбраны точки M и N так, что BM=2AM и прямая MN делит площадь трапеции пополам. Найти отношение CN:ND.

В трапеции ABCD с основаниями BC=12, боковая сторона CD=7, угол А =. Известно, что точка пересечения биссектрис углов B и C лежит на основании AD. Найти площадь трапеции.

На основании BC трапеции ABCD, как на диаметре построена окружность, которая проходит через середины диагоналей трапеции и касается основания AD. Найти углы трапеции.

Основания трапеции относятся как 2:3, а ее площадь равна S. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины оснований и диагоналей трапеции.

В окружность радиусом 3 с центром в точке О вписана трапеция. Найти площадь трапеции, если известно, что окружность радиусом 1 с центром О касается одного из оснований трапеции и проходит через точку пересечения диагоналей.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, а длина средней линии равна . Найти площадь трапеции.

В трапеции ABCD с основания AD и BC угол А =. Известно, что окружность радиусом R с центром в точке C касается диагонали BD и продолжений сторон AB AD трапеции. Найти площадь трапеции.

В окружность радиусом R вписана трапеция с острым углом при основании AD, равным . Известно, что биссектриса угла C проходит через центр окружности. Найти площадь трапеции.

Боковая сторона AD трапеции ABCD перпендикулярна основаниям AB и CD, AB=3, CD=1. Окружность, построенная на BC как на диаметре, касается стороны AD. Найти площадь трапеции.

ABCD- равнобедренная трапеция с основания AD и BC и боковыми сторонами AB и CD. Известно, что AD=5, BC=3, . Найти длину боковой стороны трапеции.

Дана трапеция ABCD с основанием AD и диагоналями BD и AC. Известно, что AC=3, BD=4, . Найти площадь трапеции.

Сумма внутренних углов при основании AD трапеции ABCD равна . В трапецию вписана окружность, боковая сторона AB делится точкой касания с ней на отрезки длины  и . Определить длину боковой стороны CD трапеции.

В равнобедренной трапеции ABCD угол А =, а длина диагонали AC=. Найти площадь трапеции, если известно, что прямая параллельная AC и делящая площадь трапеции пополам, пересекает трапецию по отрезку длины 3.

В окружность вписана трапеция, у которой диагонали перпендикулярны и равны . Известно, что расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей равно 8. Найти периметр трапеции.

В окружность вписана трапеция, у которой диагонали равны 12, а длины оснований относятся как 1:5. Известно, что расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей равно 5. Найти площадь трапеции.

(т) В трапеции ABCD с основаниямиAD=12 и BC=8 сумма углов ABC и BCD равна . На стороне BC взята точка E так, что BE=3, на стороне AD взята точка F так, что AF=5. Найти длину отрезка EF.

Вписанные углы. Вспомогательная окружность. Теорема синусов. Теорема о касательной и секущей.

Упражнения

Дан правильный . Вне треугольника взята точка D так, что BD=AB. Найти .

Хорды AB и CD пересекаются в точке M. Доказать, что .

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке M. Известно, что . Доказать,что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины треугольника, делят его угол на четыре равные части. Найти углы треугольника.

Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямая, проходящая через А, вторично пересекает данные окружности в точках C и D. Доказать, что все полученные таким образом треугольники BCD, подобны друг другу.

Две окружности пересекаются в точках А и В. Пусть M - любая точка прямой AB вне отрезка AB. Доказать, что касательные, проведенные из M к данным окружностям, равны между собой.

Через середину хорды, стягивающей дугу , проведена другая хорда, у которой одна часть втрое больше другой. Найти угол между этими хордами.