Непрерывные функции. Типы разрывов. Непрерывность сложной функции

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Глава 3. Непрерывные функции

3.1 Определения.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если .

Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения. а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f(x) в точке х0 в виде

.

б) Так как , то непрерывность в точке х0 можно записать в виде

.

Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода

в) Обозначим Dx=x-x0 (приращение аргумента) и Df=f(x) - f(x0) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х0 означает, что , то есть бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.

Ведем обозначения:

, если эти пределы существуют.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0  слева (справа) если f(x0)=f(x0 – 0) (f(x0)=f(x0+0)). Очевидно, что непрерывность в точке х0 означает непрерывность слева и справа одновременно.

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, то есть если

Обратите внимание, где стоит квантор , это важно.

Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке х0, то говорят, что в точке х0 функция f(x) имеет разрыв.

3.2 Типы разрывов.

А. Пусть существуют конечные f(x0-0) и f(x0+0), они равны друг другу, но не равны значению функции в точке х0, то есть выполнено условие

f(x0-0) = f(x0+0) ≠ f(x0), то говорят,  что в точке х0 функция f(x) имеет устранимый разрыв. Действительно, достаточно изменить значение функции в точке х0 и разрыв исчезнет.

Вид графика функции в этом случае приведен на рисунке.

В. Пусть существуют конечные f(x0-0) и f(x0+0), но они не равны друг другу . Тогда говорят, что в точке х0 функция f(x) имеет разрыв I рода или скачок.

График функции f(x) в окрестности точки х0 имеет в этом случае примерно такой вид:

Величина |f(x0+0)-f(x0-0)| называется величиной скачка функции f(x) в точке х0.

В. Если хотя бы один из пределов  или бесконечен или не существует, то говорят, что в точке х0 функция f(x) имеет разрыв второго рода.

Виды графика функции f(x) в окрестности точки х0 в этом случае гораздо разнообразнее. Некоторые возможные варианты приведены ниже.

;  и

не существуют.

3.3 Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда функции f(xg(x), f(x)g(x) и  (если g(x0)¹0) непрерывны в точке х0.

Доказательство.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке x0. Это значит, что . Но тогда, по свойствам пределов

Последнее свойство верно, если . <

Пусть  y=f(x), но x, в свою очередь, является функцией некоторого аргумента t: x=j(t). Тогда комбинация y=f(j(t)) называется сложной функцией, или суперпозицией функций f(x) и j(t).

Примеры:

а) y=sin(x), x=et  Þ y=sin(et)

б) y= ex , x=sin(t)   Þ y= esin(t)

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть функция j(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=j(t0). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t0.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

 непрерывна в точке ,

 непрерывна в точке , или .

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

, что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t0. <

Обратите внимание на следующие детали:

а) так как x=j(t), то |j(t)-j(t0)|<d может быть записано

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
1 Mb
Скачали:
0