Динамические системы. Уравнение свертки. Идентификация объекта. Фурье-преобразование некоторых функции

Страницы работы

56 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

4. Динамические системы

1

4. Динамические системы

4.1. Уравнение свертки. 4.2. Идентификация объекта. 4.3. Фурье-преобразование некоторых функции. 4.7. Равенство Парсеваля. 4.8. Применение равенства Парсеваля. 4.9. Энергия гармонического осциллятора. 4.10. Интерполяция рядами Фурье. 4.11. Приложения преобразования Фурье. 4.12. Таблица преобразования Фурье.

2

4.1. Уравнение свертки

  • Понятие динамической системы происходит из классической механики. Это системы, описывающие поведение множества материальных точек в зависимости от времени с помощью конечного набора числовых параметров, которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений первого порядка. Для целей данного курса достаточно считать, что динамическая система – это система, описываемая конечным набором входных и выходных параметров, которые определены на некотором интервале времени.
  • Простейшая динамическая система имеет один входным и один выходным параметр и состоит из одного элемента, будем называть такую упрощенную систему объектом.

3

4.1. Уравнение свертки

  • Параметры представляют собой функции от времени, обозначим входной параметр как функцию x(t) , а выход-ной как y(t). Мы рассматриваем поведение объекта на некотором интервале времени, то есть параметры представляют собой функции от времени на этом интерва-ле. В первой части нашего курса все параметры объекта и все функции будем считать детерминированными. Выходной параметр y(t) некоторым образом зависит от входного параметра, то есть от функции x(t).
  • Мы рассматриваем поведение объекта на некотором интервале времени, то есть параметры представляют собой функции от времени на этом интервале. Зависимость выходного параметра от входного будем записывать в виде соотношения

4

4.1. Уравнение свертки

  • y(t) = F[x(t)],
  • где F – некоторое преобразование функции x(t) в функцию y(t).
  • Преобразование F называется оператором. Например, F может выражать зависимость в виде решения дифференциального уравнения. Одним из простейших видов зависимости функций является уравнение свертки

Функция h(t) называется ядром свертки. Свертка широко применяется в теории сигналов, в частности, для моделирования фильтров.

5

4.1. Уравнение свертки

  • В реальной ситуации ядро обычно не равно нулю только на некотором отрезке [0, M], поэтому свертка принимает вид

Если бы нижняя граница интервала интегрирования была бы меньше 0, например, -1, то получалось бы, что функция y(t) зависит от значения функции x(0-(-1)) в момент времени от + 1, то есть в будущем, что считаем невозможным.

6

4.1. Уравнение свертки

  • Следовательно, при t < 0 ядро h(t) = 0.

(1)

Для каждого момента времени t0 функция y(t0) зависит от функции x(t) во все моменты времени от t0 – M до t0, то есть, от «недалекого прошлого». M называется интервалом памяти объекта. Сокращенно соотношение (1) записывается в виде y(t) = h(t)*x(t).

7

4.2. Идентификация объекта

  • Одной из основных задач в динамических системах является задача идентификации системы.
  • Предполагается, что исследователь может подать на вход объекта любой сигнал x(t) и наблюдать на выходе получающийся сигнал y(t).
  • Идентификацией системы с параметрами x(t) и y(t) называется построение оператора F, такого, что
  • y(t) = F[x(t)].
  • Процесс идентификация состоит из двух этапов:
  • 1) выбор математической модели системы;
  • 2) оценивание параметров выбранной модели.
  • В этой модели x(t) выбирает исследователь, и он наблюдает сигнал y(t) на выходе. Таким образом, требуется подобрать такой входной сигнал, чтобы найти неизвестный параметр модели - функцию h(t).

8

4.2. Идентификация объекта

  • Пример решения задачи идентификации.
  • Пусть имеется черный ящик, в который входит сигнал x(t) и выходит сигнал y(t) .
  • 1) выбор математической модели системы;
  • В простейшем случае выбирается модель в виде уравнения свертки, но может выбираться и другая модель. Для идентификации черного ящика, работа которого моделируется уравнением свертки (И ТОЛЬКО ДЛЯ ЭТОЙ МОДЕЛИ ! ) задача идентификации решается при помощи свойства фильтрации -функции.
  • 2) оценивание параметров выбранной модели.
  • Для уравнения свертки требуется подобрать такой входной сигнал, чтобы найти неизвестный параметр модели - функцию h(t).

9

4.2. Идентификация объекта

  • В качестве входного сигнала возьмем -функцию и для вычисления значения ядра h(t) на отрезке t € [0, M], используем свойство 1 -функции

Так можно построить значение ядра в произвольной заданной точке. Так просто решается задача идентификации для модели в виде уравнения свертки.

10

4.3. Фурье-преобразование некоторых функции

  • Как было показано в п.3.8., преобразование Фурье δ–функции равно постоянной
  • Ясно, что обратное преобразование Фурье от единицы равно δ–функции, а обратное преобразование Фурье от постоянной функции F(z) = c равно δ–функции с коэффициентом c .

4.3. Фурье-преобразование некоторых функции

  • Нам понадобится преобразование Фурье от экспоненты в мнимой степени

Похожие материалы

Информация о работе