Тесты для самопроверки темы: «Ряды» (Задания 1-16 с указанием правильных ответов)

«Ряды»

Тесты для самопроверки

1.  Необходимый признак сходимости ряда.

Теорема  (необходимый признак сходимости). Если ряд  сходится, то . Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если  , то ряд  расходится. Важно!  Если  , то вывода о сходимости или расходимости ряда сделать нельзя.

Задание 1.  Среди следующих рядов

1) ;                    2) ;        3) ;

4) ;           5) ;                    6) , найдите те, для которых справедливы утверждения:

а) ;                   б) ;

в)  ряд сходится;             г)  ряд расходится.

Правильные ответы:

№ ряда	1	2	3	4	5	6
	0			0	0
сходится или расходится	неизвестно	расходится	расходится	неизвестно	неизвестно	расходится

2.  Признаки сравнения.

Теорема (признак сравнения). Пусть   и   два знакоположительных ряда таких, что . Тогда, если 1) ряд  сходится, то сходится и ряд ;  2)  ряд   расходится, то расходится и ряд . Важно!     При решении использовать: а) ряд Дирихле , который сходится, если   и  расходится, если ; б)   геометрическую прогрессию , которая является сходящимся рядом, если   и  расходящимся рядом, если .

Задание 2.  Найти верные оценки для :

2.1) ;          2.2) ;

2.3) ;              2.4) ;                2.5) .

Варианты ответов

Правильные ответы (номера):

2.1	2.2	2.3	2.4	2.5
1	2	2	3	1

Задание 3.  Используя признак сравнения, среди рядов, приведенных в задании 2, найти сходящиеся и расходящиеся.

Правильные ответы:

сходится	1,  3,  5
расходится	2,  4

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть   и   два знакоположительных ряда. Если существует конечный, отличный  от 0, предел  , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Задание 4. Используя предельный признак сравнения, исследовать на сходимость ряды с общими членами :

4.1) ;                              4.2) ;

4.3) ;                            4.4) .

Указание: Использовать для сравнения подходящий ряд Дирихле.

Правильные ответы:

№	С каким рядом сравнили		Сходится или расходится
4.1			сходится
4.2			расходится
4.3			расходится
4.4			сходится

Теорема (признак сравнения в эквивалентной форме). Пусть   ряд с положительными членами и    . Тогда при  ряд   сходится, а при  ряд  расходится.  Важно!     При решении нужно использовать таблицу эквивалентных функций:                                                                                                       если  - бесконечно малая функция. А также тот факт, что .

Задание 5.  Используя признак сравнения в эквивалентной форме, найти  для   и  сделать вывод о  сходимости следующих рядов:

5.1) ;        5.2) ;     5.3) ;       5.4) ;               5.5) .

Варианты ответов:

1) ,  сходится;                       2) ,  сходится;

3) ,  сходится;                        4) ,  расходится;

5) ,  сходится;                       6) ,  расходится;

7) ,  расходится;                    8) ,  сходится.

Правильные ответы (номера):

5.1	5.2	5.3	5.4	5.5
6	5	8	7	4

3. Признак Даламбера.

Теорема (признак Даламбера). Пусть   ряд с положительными членами и  существует   . Тогда ряд сходится при    и расходится при  . Важно!     Если , то вывода о сходимости ряда сделать нельзя.

Задание 6.  Найти , если

6.1) ;                       6.2) ;

6.3) ;         6.4) ;

6.5) ;                        6.6) .

Варианты ответов

Правильные ответы (номера):

6.1	6.2	6.3	6.4	6.5	6.6
2	1	3	1	2	3

Задание 7.  Исследовать сходимость рядов из задания 6, вычисляя  и применяя признак Даламбера.

Варианты ответов:

7.1) ,  сходится;                       7.2) ,  расходится;       

7.3) ,  сходится;                       7.4) ,  расходится; 

7.5) ,  сходится;                       7.6) ,  вывод сделать нельзя;

7.7) ,  расходится;                       7.8) ,  сходится.

Правильные ответы (номера):

7.1	7.2	7.3	7.4	7.5	7.6
3	5	6	2	1	7

4.  Радикальный признак Коши.

Теорема (признак Коши). Пусть   ряд с положительными членами и  существует   . Тогда ряд сходится при    и расходится при  . Важно!     Если , то вывода о сходимости ряда сделать нельзя. Важно!   и  .

Задание 8.   Вычислить   и, используя признак Коши, исследовать сходимость следующих рядов:

8.1) ;                    8.2) ;

8.3) ;             8.4) ;         8.5) .

Варианты ответов:

8.1) ,  сходится;                          8.2) ,  расходится;

8.3) ,  сходится;       8.4) ,  сходится;    8.5) ,  сходится;

8.6) ,  расходится;                    8.7) ,  сходится.

Правильные ответы (номера):

8.1	8.2	8.3	8.4	8.5
6	4	3	2	1

5.  Интегральный признак Коши.

Теорема (интегральный признак Коши). Если члены знакоположительного ряда    могут быть представлены как числовые значения некоторой монотонно-убывающей на     функции   так, что , , то: 1) если    сходится, то сходится и ряд , 2)  если    расходится, то расходится и ряд .

Задание  9.  Применить интегральный признак для исследования сходимости рядов:

9.1) ;                                     9.2) ;

9.3) ;                                          9.4) .

Указать вид первообразной  для   и  .

Варианты ответов

1) ,   расходится;

2) ,    сходится;

3) ,    сходится;

4) ,    сходится.

Правильные ответы (номера):

9.1	9.2	9.3	9.4
2	4	1	3

6.  Знакочередующие ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды.

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся  ряд   сходится, если: 1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.    ; 2)  общий член ряда стремится к нулю:  . При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенству:  . Важно!  Если , то погрешность при этом меньше, чем . Если члены ряда  принимают положительные и отрицательные значения, то он называется знакопеременным. Определение. Знакопеременный ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов и условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Важно!  Для исследования абсолютной сходимости к рядам  можно применять все признаки сходимости знакоположительных рядов. Важно!  Признак  Лейбница - это признак условной сходимости рядов.

Задание 10.  Даны ряды:

10.1) ;                10.2) ;               10.3) ;

10.4) ;                10.5) ;            10.6) ;

10.7) ;           10.8) .

Выберите из них те, которые удовлетворяют условиям:

а)  знакочередующиеся;

б) знакопеременные;

в)  знакоположительные.

Правильные ответы (номера):

а	б	в
1, 3, 7	2, 6, 8	4, 5

Задание 11. Для знакочередующихся рядов из задания 10 проверить выполнены ли условия признака Лейбница.

Правильные ответы:

1)  да;                               3)  да;                             7)  нет.

Задание 12.  Из знакочередующихся и знакопеременных рядов задания 10 найти:

а)  абсолютно сходящиеся;

б)  условно сходящиеся;

в)  расходящиеся.

Правильные ответы:

а)  абсолютно сходятся:  10.1;   10.2;   10.6;

б)  условно сходятся:  10.3;

в)  расходятся: 10.7;  10.8.

Задание 13.  Вычислить сумму  S ряда   с точностью:

1)  0,15;                           2)  0,02;                         3)  0,01.

Сколько n  членов ряда при этом надо взять?

Варианты ответов:

1) ;        2) ;        3) .

Правильные ответы (номера):

13.1	13.2	13.3
3	1	2

7.  Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида                                      (1) или вида ,     (2) где  - постоянное число.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при , то он абсолютно сходится при всех  х : . Если ряд (1) расходится при , то он расходится при всех   х : . Из теоремы Абеля вытекает, что степенной ряд (1) сходится в интервале (-R, R)  и  расходится вне этого интервала. Число R  называется радиусом сходимости. При R = 0 ряд  (1)  сходится в единственной точке х = 0,  при   ряд (1) сходится при . На концах интервала сходимости, т.е. при    вопрос о сходимости решается для каждого ряда отдельно. Для ряда (2)  интервал сходимости имеет вид:  . Если  , то ряд (2) сходится в точке . Формулы для нахождения  радиуса сходимости имеют вид: .

Задание 14.  Даны степенные ряды:

14.1) ;               14.2) ;            14.3) ;

14.4) ;                 14.5) ;            14.6) .

Найти: а)  радиус сходимости;   б) интервал сходимости;   в) область сходимости.

Варианты ответов:

а)  радиус сходимости:

1) ;       2) ;     3) ;    4) ;     5) ;     6) .

б)  интервал сходимости:

1) ;               2) ;              3)  точка  ;             4) ;  5) ;               6) ;               7) .

в) область сходимости:

1) ;               2) ;             3) ;      4) ;      5) ;

6) ;             7) ;        8) ;           9)  точка  .

Правильные ответы (номера):

8. Применение степенных рядов.

Запишите разложения в ряд Тейлора некоторых элементарных функций: .

Задание 15.  Зная разложение в степенной ряд элементарных функций, разложить в ряд Маклорена следующие функции:

15.1) ;                     15.2) ;

15.3) ;                   15.4) .

Варианты ответов:

1)  ;               2)  ;

3)  ;            4)  .

Правильные ответы (номера):

15.1	15.2	15.3	15.4
3	1	2	4

Задание 16.  Найти разложение в ряд первообразных   функций  из задания 15, проинтегрировав соответствующие степенные ряды их в пределах от 0 до х.

Варианты ответов:

16.1) ;

16.2)  ;

16.3)  ;                 

16.4)  .

Правильные ответы (номера):

16.1	16.2	16.3	16.4
2	4	3	1

Для того, чтобы найти сумму ряда с заданной степенью точности