Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Двумерные СВ. Функция распределения и её свойства

Страницы работы

Содержание работы

31. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.

Нельзя заранее предвидеть какое из возможных значений примет СВ в итоге испыт. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно.

Для оценки этих величин применяется теорема Чебышева и Бернулли.

Неравенство Чебышева:

X

x1

x2

xn

P

p1

p2

pn

Оценим отклонение СВ от её математического ожидания, и найдем при каких значениях это отклонение < ε

| ξ – М(ξ)| < ε                  если ε очень мало, ε0

ξ ~ M(ε)

Вероятность того, что отклонение СВ ξ от её математического ожидания по абсолютной величине < положительного числа ε, вероятность этого меньше, чем 

p (| ξ – M (ξ)| < ε)

Доказательство:

Сущ. события

|ξ – M(ξ)| < ε  и |ξ – M(ξ)| ε

Сумма верностей этих сообщений равна 1.

p {|ξ – M (ξ)| < ε} + {|ξ – M (ξ)} ε|= 1

p {|ξ – M (ξ)| < ε} = 1- p {|ξ – M (ξ)|ε}

Найдем дисперсию

D(ξ)= [x1-M(ξ)]2 p1+ [x2- M (ξ)]2 p2+…+[xn-M(ξ)]2 pn

[xi – M(ξ)] < ε (k штук)        [xj – M(ξ)] ε

D (ξ) [xk+1 – M (ξ)]2 p1+…+ [xn – M (ξ)]2 pn

|ξ – M (ξ)|ε –обе части положительные, возводим их в квадрат

|ξ – M (ξ)|2ε2 , ε –уменьшится, неравенство усилится

D (ξ)ε2 (pk+1+pk+2+…+pn)

p {|ξ – M (ξ)|ε}

D (ξ) ε2     p {[ξ – M (ξ)] ε}

p {|ξ – M (ξ)| ε}

p {|ξ – M (ξ)| <ε}

что и требовалось доказать.        

Теорема Чебышева.

Если x1 , x2 , … , xn – это попарно независимый СВ причем дисперсии их равномерно ограничены и не превышают некоторые постоянные числа C (D(xi))C,  i=, то каково бы ни было значение ε>0,неравенство

то вероятность неравенства равна 1, если число величин достаточно велико, т.е.             (1)

 


Доказательство:

среднее значение величины найдем 

p {|- M ()|<ε}

D () =

M (xi) принимают значения 1-если соб. произ., 0-если не произ.

M (x1) = 1p + 0q = p

D (xi) c  

D ()

т.к. вероятность не может быть >1, то она  =1.

Следовательно (1) ч. и требовалось доказать.

Применяется в физике, когда большое число экспер.

32. Теорема Бернулли

Если в каждой из n испыт. вероятность появл. соб. A постоянна, то как угодно близка к един. вероятность того, что отклон. относ. частоты от вероятности испыт. по абсол. велич.будет сколь угодно мал, если число испыт. велико.

           

Доказательство:

x1, x2, …, xn –дискр. СВ

M(x)=M(x1)+M(x2) +…+M(xn)

M(xi)=1p+0q=p

M(xi2)=12p+02q=p

D(xi)=M(xi2)-[M(xi)]2=p-p2=p(1-p)=pq

p+q=1;      p=;      q= --максимальное значение

D(xi),     i=

M(x1)+M(x2)+…+M(xn)=M(x)

M(x)=np

x1+x2+…+xn=m

33. Двумерные СВ. Функция распределения и её свойства.

Двумерная случ. величина (x,y), если трёхмерная, то (x,y,z). Геометрически олредел. m или радиус --вектором OM

 


y                                              y                                                            

                                                                

      0                                x             0                                  x

З-ном распред-я двум СВ наз.перечень возможн. знач. этой велич., т.е. пар чисел (xi, yi) и их вероятность p' (xi,yi)

i=1,2,…,n          j=1,2,…,m

З-н распред-я в виде табл.

x

y

x1

xi

xn

      y1

p(x1,y1)

p(xi,y1)

p(xn,y1)

:

:

:

:

:

:

:

:

yj

p(x1,yj)

p(xi,yj)

p(xn,yj)

:

:

:

:

:

:

:

:

ym

p(x1,ym)

p(xi,ym)

p(xn,ym)

(X=xi,Y=yj)  i=;          j=

Т.к. можно рассм.  (x1,y1), …, (x1,yj), …, (ym,x1), то если возмем сумму

p(y=yj)=

Функция распределения и её свойства.

,   

Функция распределения двум. СВ (x,y) наз. ф-ция F(x,y), определяющая для каждой пары чисел (x,y) вер-ть того, что X принимает значения < x, а Y-<y. Геометрически – это вер-ть того, что случ. m(x,y) попадает в  квадрат, располож. левее и ниже этой точки с вершиной (x,y)

Свойства функции распределения:

1. ф-ция удовлетвор. нер-ву

  это видно из опрдел.

2. ф-ция распредел. не убыв-ая ф-ии по своим составл. (по каждому аргум.), т.е.

3. имеет место предельное соотношение а)           б)

в)        г)

Док-во: а) , т.к. невозможное событие  т.е.

г)

4. при  ф-ция распред. системы станов. равной ф-ции распред. составл. x

аналог., если

Док-во: т.к. событие  достоверно, то вер-ть того, что , это и есть ф-ция распрдел. СВ

5. вер-ть попад. т. в полуполосу

6.вер-ть попадания в прямоугольник

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Ответы на экзаменационные билеты
Размер файла:
186 Kb
Скачали:
0