Соотношения между напряжениями и деформациями (Примеры решения задач), страница 2

4.   Стальная деталь нагружена и замерены , модуль пластичности  , среднее нормальное напряжение . Записать тензор напряжений и разложить его на шаровой и тензор-девиатор. Пояснить роль каждого из них в упруго-пластической деформации.

5.  Задан тензор . Записать показатели напряженного состояния и ; и для предельных случаев: плоская деформация, плоское напряженное состояние, совпадение двух напряжений.

6.  Показать, что

3. ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ.

Напряжения в некоторой точке тела равные: . Может ли металл с пределом текучести  МПа (19,6 кГ/мм) находиться в упругом состо­янии?

РЕШЕНИЕ:  Используя условие пластичности, получим:

 МПа. МПа.

Величина 116258>76832, следовательно, материал не может сохранить упругое сос­тояние.

3.2. Напряжения в данной точке тела: , Каким пределом текучести должен обла­дать металл, чтобы при заданных напряжениях находиться в упру­гом состоянии?

ОТВЕТ: МПа.

3.3. Напряжения в данной точке свинцового образца равны . Напряжение текучести  МПа. В каком состоянии находится металл?

3.4. При испытании на растяжение материала при заданной степени деформации показал  Мпа, ().Наложим на схему растяжения шаровой тензор напряжения

 Получим

Вычислим из условия пластичности: ; 1600+0+1600=

1600=; 40 МПа.

При наложении шарового тензора по условию пластичности не меняется.

3.5. Определить критический размер трещины по Гриффитсу, если модуль нормальной упругости Е=2 кГ/мм, удельная поверхностная энергия  Дж/см, напряжение в вершине трещины .

ОТВЕТ: l=0,2 см.

З.6. Показатели схемы напряженного состояния [7].

 .

            Их величины характеризуют схему напряженного состояния и определяют пластичность материалов при данных условиях деформирования. Вычислить значения показателей  и  схемы напряженного сос­тояния для растяжения, сжатия, кручения и изгибе.

            3.7. Задан тензор напряжений,

определить показатели  и . По величине  к рис. 26 [7] определить величину критического значения ln для стали У10А.

3.8. Авторы [2] полагают, что пластическое разрыхление можно характеризовать относительным остаточным увеличением объема , а его приращение  пропорционально приращению степени деформации сдвига: =. В момент образо­вания микротрещины , где  степень дефор­мации сдвига к моменту разрушения металла - пластичность; она зависит от, температуры, гидростатического давления (-) интенсивности касательных напряжений  коэффициента  и отношения, .

Определить пластичность (степень деформации сдвига) стали З0ХГСА с учетом  показателя схемы напряженного состояния и отношения по диаграмме пластичности (рис.3.1 [2]), если задан тензор напряжения.

РЕШЕНИЕ: При испытании на растяжение,   и  - диаметры образцов до и после испытания. При испытании на круче­ние ;  - угол наклона образующих линии после ис­пытаний к оси образца.

 ;

; по диаграмме пластичности;

; ;

Глава 6

УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО УПРОЧЕННОГО МЕТАЛЛА

Примеры решения задач

6.1. Предположим, что труба, имеющая внутренний радиус  мм и толщину стенки  мм, испытывалась в усло­виях двухосного растяжения . Найти полное осевое усилие и компоненты напряжения, если предел текучести мате­риала  кГ/мм². Поскольку имеет место двухосное напря­женное состояние, напряжение текучести будет зависеть не толь­ко от осевого  и тангенциального напряжения , но и от ра­диального напряжения  на внутренней поверхности трубы.

 Пусть отношение радиального и тангенциального напряжений

                            .

Решение. Подставив в условие пластичности Мизеса

                     

значения напряжений и , выраженных через , получим

       .

Поскольку радиальное напряжение изменяется от — до О, возникновение текучести можно не заметить до тех пор, пока стенка всей трубы не станет пластичной. Для условия, когда  предполагается равным нулю, = 1,73 и, следовательно, ошиб­ка составит 5%. Компоненты напряжения можно получить сле­дующим образом. Приравнивая предел текучести материала эф­фективному напряжению, имеем

                кГ/мм,

                кГ/мм,

          кГ/мм,     кГ/мм.

Полное усилие растяжения

                                 ,

откуда, подставляя значение полученных величин, находим

                        т.

Если бы было взято условие текучести Треска, тогда

                               кГ/мм,

                                кГ/мм.

6.2. Тонкостенная труба длиной 250 мм имеет толщину стен­ки 2,5 мм и начальный внешний радиус 50 мм. Пусть зависимость между напряжением и деформацией для этого материала имеет вид. Труба подвергается осевому растяжению уси­лием L и крутящему моменту Т таким образом, что отношение

напряжений  в любой момент времени. Деформация продолжается до тех пор, пока =17,5 кГ/мм². Найти: а) эф­фективную деформацию в конце процесса деформации; б) конеч­ные размеры трубы и в) конечную нагрузку и крутящий момент.

Решение. а) Подстановка  и  0

в уравнение (3.27), при использовании цилиндрических коорди­нат и приблизительного равенства , дает

           ,

                        кГ/мм²

откуда следует, что

                                     .

б) При использовании уравнений пластичности (5.9) в цилин­дрических координатах получаем

                ,

                ,

отсюда

                             ,

                               ,

                             

Размеры трубы, вычисленные с помощью уравнения (4,26), сле­дующие:

                            мм,

                            мм,

                            мм,

в) Из уравнения (6.17) для= О

                     т.

Крутящий момент для равномерного касательного напряжения, действующего на тонкостенное сечение участка А, выражается сле­дующей зависимостью:

  кГм.

6.3. Тонкостенная труба с размерами, указанными в зада­че 6.2, подвергается Т, так что внутреннему давлению р, осевому растяже­нию с усилием L и крутящему моменту создается по­стоянное отношение напряжении и   вплоть до конечного осевого напряжения  =35кГ/мм². Найти L, р и Т при конечном напряженном состоянии.