Методические указания к практическим занятиям по курсу «Прикладные математические методы» (Определение необходимого объема испытаний. Расчет оптимального распределения активной мощности в теплоэнергетической системе)

Страницы работы

68 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра электрических станций

ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Методические указания к практическим занятиям

по курсу «Прикладные математические методы»

Для студентов 3 курса специальности 100100 д/о, з/о

Киров 2002


УДК 621.31.019

Авторы: к.т.н., доцент кафедры ЭС к.т.н., доцент кафедры ЭС к.т.н., доцент кафедры ЭС

Рецензент: к.т.н., доцент кафедры Э


РАЗДЕЛ 1

ВВЕДЕНИЕ

Создание новых машин, аппаратов и комплексов требует применения таких методов анализа, которые позволяли бы при проектировании объективно учесть опыт эксплуатации, данные экспериментов.

Эксплуатация и испытания позволяют провести проверку методов и моделей и тем самым  повысить надежность. Студенты и молодые специалисты должны уметь выносить суждение и обосновывать его точность и надежность по сравнительно небольшому объему опытных данных.

ЗАДАЧА 1.1

Определение необходимого объема испытаний

В основе всех методов лежит закон Бернулли, формулируемый следующим образом:

Для независимых событий расхождение между частостью события  и вероятностью  при увеличении  становится меньше малой величины

Количественные соотношения можно вывести на основании дополнения к теории Бернулли, выведенного П.Л.Чебышевым

Вероятность  того, что разность между частостью и вероятностью события будет меньше , зависит от вероятности этого события  и числа проводимых испытаний.

а) Если , то вероятность того, что  может быть определена из граничного условия

т.е. для того, чтобы

б) Если , то

для

в) Если , а

т.е. повышение требований к точности и надежности испытаний существенно увеличивает необходимый объем испытаний.

Теорема Бернулли с дополнением Чебышева легла в основу количественных критериев согласия, позволяющих проверить достоверность предлагаемой гипотезы по небольшому объему опытных данных.

ЗАДАЧА 1.2

Обработка результатов испытаний

с оценкой по среднеквадратичной погрешности

1) 

2)  - остаточные погрешности.

3)  Случайная погрешность  - разность между полученным из опыта значением и действительным значением, при условии, что все систематические погрешности исключены.

4)  При большом числе измерений законы для случайных и остаточных погрешностей совпадают.

5)   - средняя квадратичная погрешность ряда измерений.

6)  В этом случае - число погрешностей.

Надпись:  

Рисунок 1.1

Если совокупность остаточных погрешностей не удовлетворяет нормальному распределению, то в ряде измерений есть систематические погрешности.

7)   - средняя арифметическая погрешность.

8) 

9)   - вероятная погрешность.

10)  Формула Бесселя

тогда

11) 

12) 

Если при обработке результатов испытаний значения  по 11 и 12 разнятся значительно, то, вероятно, есть систематическая погрешность.

13) 

Исходя из 6  можно вычислить число измерений , необходимое для того, чтобы в ряду измерений только одна погрешность была бы больше заданной величины .

Надпись: Таблица 2-1
 
 

 
-
 
3
 
22
 
370
 
15625
(  в долях от  )
Вывод:

1) в 1 из 370 погрешность превысит , в 1 из 15635 погрешность превысит .

2) В практических измерениях появление погрешности больше, чем  почти исключено.

3) Появление погрешности большей чем  содержит промах и должно быть отброшено.

В итоге результат оценивается средним арифметическим. Точность результата характеризуется

 - средняя квадратичная

 - средняя арифметическая

 - вероятная погрешность

Пример. 16 раз замерялось сопротивление

Таблица 1.1

85,30

0,00

0,0000

85,30

+0,09

0,0081

85,71

+0,41

0,1681

85,71

+0,50

0,2500

84,94

-0,36

0,1296

84,94

-0,27

0,7290

84,70

-0,60

0,3600

84,70

-0,51

0,2601

85,63

+0,33

0,1089

85,63

+0,42

0,1764

86,65

+1,35

1,8225

-

-

-

85,24

-0,06

0,0036

85,24

+0,03

0,0009

85,36

+0,06

0,0036

85,36

+0,15

0,0225

84,86

-0,44

0,1936

84,86

-0,35

0,1225

85,21

-0,09

0,0081

85,21

0,00

0,0000

84,97

-0,33

0,1089

84,97

-0,24

0,0576

85,19

-0,11

0,0121

85,19

-0,02

0,0004

85,35

+0,05

0,0025

85,35

+0,14

0,0196

85,21

-0,09

0,0081

85,21

0,00

0,0000

85,16

-0,14

0,0196

85,16

-0,05

0,0025

85,32

+0,02

0,0004

85,32

+0,11

0,0121

Поэтому №6 отбрасываем и получаем правую часть

 

Нет .

Окончательно .


Рисунок 1.2

Примечание: в принципе подобная процедура может повторяться до тех пор, пока погрешность измерения не будет считаться случайной, но обычно это наблюдается уже после первого цикла обработки.

ЗАДАЧА 1.3

Использование однофакторного дисперсионного анализа для проверки гипотез

Если какая-либо случайная величина  наблюдалась в  группах, то среднее значение ее в i-й группе

во всех группах

Полное рассеяние

рассеяние между группами

Остаточное рассеяние

Примечание: .

Эти соотношения могут быть использованы для проверки однородности результатов в группах, т.е. возможности использования результатов для совместной обработки. Для этого сопоставляются две гипотезы:

1.  Основная – различие в результатах объясняется только случайностью.

2.  Противоположная - различие в результатах связано с наличием какого-либо определенного фактора.

 - эта случайная величина имеет распределение хи-квадрат с  степенями свободы.

 - эта случайная величина имеет распределение хи-квадрат с  степенями свободы.

 имеет  - распределение, поэтому полученное из опытов значение  сравнивается с теоретическим значением . Если , то принимается основная гипотеза, если  - противоположная.

Таблица 1.2

Квантили  95% вероятности

           

1

2

3

4

5

1

161,4

199,5

215,7

224,9

230,0

2

18,5

19,0

19,2

19,2

19,3

3

10,1

9,6

9,3

9,1

9,0

4

7,7

6,9

6,6

6,4

6,2

5

6,6

5,8

5,4

5,2

5,0

6

6,0

5,1

4,8

4,5

4,4

7

5,6

4,7

4,3

4,1

4,0

8

5,3

4,4

4,1

3,8

3,7

9

5,1

4,2

3,9

3,6

3,5

10

5,0

4,1

3,7

3,5

3,3

Задача. По ( i ) 3 группам было проведено ( j ) 5 проверок, которые выявили различное

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
4 Mb
Скачали:
0