Основные законы электростатики и постоянного тока: Методические указания и контрольные задания к контрольной работе № 3 по физике. Часть 3

имеет составляющую, втягивающую диэлектрик в конденсатор с некоторой силой F (рис. 9).

Введем y и z - размеры обкладок конденсатора, в соответствии с выбранными на рис. 8 осями координат, тогда S=yz - площадь обкладки конденсатора, а Sd=yzd - объем конденсатора. Напряженность электрического поля в конденсаторе E=U/d (4) при постоянной разности потенциалов U между обкладками не зависит от наличия или отсутствия в нем  диэлектрика. До контакта с диэлектриком электрическое поле пустого конденсатора обладало запасом потенциальной  энергии (24)

  .

Если бы конденсатор был отключен от источника напряжения, то эта энергия не изменилась бы и после втягивания диэлектрика внутрь конденсатора, величина свободных зарядов на обкладках также была бы постоянной. Анализ такой ситуации предстоит тем, кто будет решать задачу 343. В условии же нашего примера источник напряжения совершает работу A =UDq, где Dq - величина изменения заряда на обкладках, равная в соответствии с (13) и (14)

.

Обратите внимание, что работа A источника всегда положительна.

Запишем закон сохранения энергии в виде

W₀ +A =W +W_ж  , где W - энергия электростатического поля конденсатора после наполнения его диэлектриком; W_ж - механическая потенциальная энергия жидкого диэлектрика. Потенциальная энергияW поля частично заполненного конденсатора находится по формуле (24):

.

Таким образом, закон сохранения энергии позволяет вывести формулу для механической энергии столба жидкости в диэлектрике:

, или, приводя подобные члены,

.

Эта энергия должна равняться по модулю работе сил F (рис. 8), втягивающих диэлектрик в конденсатор:

.

Дифференцируя последнее равенство по h, получим:

.

Ясно, что в условиях равновесия эта сила совпадает с силой гидростатического давления жидкости на глубине h :

F = mg = rgdhy, где m = rV = rdhy - масса втянутого диэлектрика. Приравнивая друг другу полученные выражения для силы, окончательно получим:

.

Пример 6. Площадь обкладок плоского конденсатора S=20 см², расстояние между обкладками d=7.5 мм. Пространство между обкладками заполнено двумя слоями слабопроводящего диэлектрика толщиной d₁=5 мм и d₂=2.5 мм с диэлектрическими проницаемостями e₁=6 и e₂=3 и удельными проводимостями б₁ = 60 пСм/м и б₂ = 40 пСм/м соответственно? Определить напряженность, смещение электрического поля, плотность тока и плотность тепловой мощности тока в каждом из слоев диэлектрика, а также поверхностную плотность зарядов на границе раздела диэлектриков, силу тока через конденсатор, мощность этого тока и сопротивление конденсатора, если он подключен к источнику постоянного напряжения U=400 В.

E1     j1    D1            б1   e1    d1    d        E2     j2    D2            б1   e2   d2 Рис. 10. К решению примера 6

Решение (рис. 10). В условиях стационарного протекания электрического тока плотность тока одинакова для обоих слоев слабопроводящего диэлектрика. Это утверждение является прямым следствием закона сохранения заряда (а в стационарных условиях заряд нигде накапливаться не может) и носит название условия неразрывности линий тока. Следовательно, из закона Ома (28)

j₁ = б₁ E₁ = б₂ E₂ = j₂

(в скобках заметим, что столь простой вид уравнения получился и благодаря постоянству сечения проводника S; если бы площади слоев отличались друг от друга S₁ ¹S₂ , то следовало бы писать более общее условие постоянства полного тока (33): j₁ S₁ = б₁ E₁ S₁ = =б₂ E₂ S₂ = j₂ S₂ ). Кроме того, сумма падений напряжения на обоих слоях диэлектрика U₁ и U₂ должна совпадать с напряжением между обкладками U (ср. с примером 4). Откуда, воспользо-вавшись (9), получим

U = E₁ d₁ + E₂ d₂  .

Неизвестных величин в записанных уравнениях - две: E₁ и E₂ , уравнений - тоже два. Находим:

 45.7 кВ/ м;

 = 68.6 кВ/ м.

Вновь обращаясь к закону Ома в дифференциальной форме (28), определяем плотность тока j₁ =j₂ в конденсаторе:

j₁ =j₂ = б₁ E₁ = б₂ E₂ =2.74 мкА/м²  .

Индукция (смещение) электрического поля определяется для каждого из слоев диэлектрика по формуле (20):