Математические методы и модели: Семестровое задание и методические указания к решению задач

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра «Экономика и инвестиции»

_

_

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Семестровое задание

и методические указания к решению задач

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

2000

УДК

ББК

, Математические методы и модели: Семестровое задание и методические рекомендации к решению задач. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000. – 39 с.

Приведены задачи семестрового задания, методические указания к их решению, примеры вычислений, рекомендуемая литература и приложения.

Пособие предназначено для студентов специальностей 060811, 061101, 061120.

Табл. 12, прилож. 4, список лит. – 13 назв.

Одобрено учебно-методической комиссией факультета «Экономика и управление».

Рецензент:

Задача 1

Многофакторный регрессионный и корреляционный анализ

Варианты задач с 1 по 25 с указанием результативного y и факторных x₁, x₂ признаков приведены в табл. 1.

По выборочным данным, представленным в табл. 2 и табл. 3, исследовать на основе линейной регрессионной модели зависимость результативного признака от показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятий.

Таблица 1

Варианты задач

№ вар.	Результативный признак	Факторные признаки	№ вар.	Результативный признак	Факторные признаки
1	y1	x1,x3	14	y3	x1,x14
2	y2	x1,x5	15	y2	x5,x9
3	y2	x1,x7	16	y3	x8,x10
4	y2	x1,x11	17	y3	x7,x14
5	y2	x1,x10	18	y3	x3,x6
6	y1	x3,x4	19	y3	x1,x14
7	y2	x3,x11	20	y1	x2,x6
8	y2	x11,x5	21	y1	x3,x7
9	y1	x3,x5	22	y2	x5,x8
10	y2	x11,x6	23	y2	x9,x10
11	y2	x1,x6	24	y3	x4,x11
12	y2	x1,x12	25	y3	x1,x12
13	y2	x1,x2

Таблица 2

Обозначения и наименование показателей

производственно-хозяйственной деятельности предприятий

Обозначение показателя	Наименование показателя
y1	Производительность труда, тыс.руб./чел.
y2	Индекс снижения себестоимости продукции
y3	Рентабельность
x1	Трудоемкость единицы продукции
x2	Удельный вес рабочих в составе ППР
x3	Удельный вес покупных изделий
x4	Коэффициент сменности оборудования, смен
x5	Премии и вознаграждения на одного работника ППР, тыс.руб.
x6	Удельный вес потерь от брака,%
x7	Фондоотдача активной части ОПФ, руб./руб.
x8	Среднегодовая численность ППР, чел.
x9	Среднегодовая стоимость ОПФ, млн.руб.
x10	Среднегодовой фонд заработной платы ППР
x11	Фондовооруженность труда, тыс.руб./чел.
x12	Оборачиваемость нормируемых оборотных средств, дн.
x13	Оборачиваемость ненормируемых оборотных средств, дн.
x14	Непроизводительные расходы, тыс.руб.

Таблица 3

Исходные данные для расчета

№	y1	y2	y3	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12	x13	x14
1	9,4	62	10,6	0,23	0,62	0,4	1,35	0,88	0,15	1,91	7394	39,53	14257	5,35	173,9	11,88	28,13
2	9,9	53,1	9,1	0,43	0,76	0,19	1,39	0,57	0,34	1,68	11586	40,41	22661	3,9	162,3	12,6	17,55
3	9,1	56,5	23,4	0,26	0,71	0,44	1,27	0,7	0,09	1,89	7801	37,02	14903	4,88	101,2	8,28	19,52
4	5,5	30,1	9,7	0,43	0,74	0,25	1,1	0,84	0,05	1,02	6371	41,08	12973	5,65	177,8	17,28	18,13
5	6,6	18,1	9,1	0,38	0,72	0,02	1,23	1,04	0,48	0,88	4210	42,39	6920	8,85	93,2	13,32	21,21
6	4,3	13,6	5,4	0,42	0,68	0,06	1,39	0,66	0,41	0,62	3557	37,39	5736	8,52	126,7	17,28	22,97
7	7,4	89,8	9,9	0,30	0,77	0,15	1,38	0,86	0,62	1,09	14148	101,7	26705	7,19	91,8	9,72	16,38
8	6,6	76,6	19,1	0,37	0,77	0,24	1,35	1,27	0,5	1,32	15118	81,32	28025	5,38	70,6	8,64	16,16
9	5,5	32,3	6,6	0,34	0,72	0,11	1,24	0,68	1,2	0,68	6462	59,92	11049	9,27	97,2	9,0	20,09
10	9,4	199	14,2	0,23	0,79	0,47	1,4	0,86	0,21	2,3	24628	107,3	45893	4,36	80,3	14,76	15,98
11	5,7	90,8	8	0,41	0,71	0,2	1,28	0,45	0,66	1,43	1948	80,83	36813	4,16	128,5	10,44	22,76
12	5,2	82,1	17,5	0,41	0,79	0,24	1,33	0,74	0,74	1,82	18963	59,42	33956	3,13	94,7	14,76	15,41
13	10,0	76,2	17,2	0,22	0,76	0,54	1,22	1,03	0,32	2,62	9185	36,96	17016	4,02	85,3	20,52	19,35
14	6,7	37,1	12,9	0,31	0,79	0,29	1,35	0,96	0,39	1,24	6391	37,21	11688	5,82	85,3	7,92	14,63
15	9,4	51,6	13,2	0,24	0,70	0,56	1,2	0,98	0,28	2,03	6555	32,87	12243	5,01	116,6	18,72	22,62

Методические указания к решению задачи 1

Множественный корреляционный анализ состоит в оценке корреляционной матрицы генеральной совокупности по выборке и определении на ее основе оценок частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Парный и частный коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между двумя переменными соответственно на фоне действия и при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель. Диапазон изменения этих коэффициентов [-1;1].

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель. Диапазон изменения этого коэффициента [0;1].

Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации; он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием остальных, входящих в модель.

Дополнительная задача корреляционного анализа (основная – в регрессионном) – оценка уравнения регрессии.

Исходной для анализа является матрица X размерности (n´k), которая представляет собой n наблюдений для каждого из k факторов. Оцениваются: вектор средних X_ср, вектор среднеквадратических отклонений S и корреляционная матрица R:

X_ср=(x_1ср, x_2ср,…, x_jср,…, x_kср);

S=(s₁, s₂, …, s_j, …, s_k);

	1	r12	…	r1k
R=	r21	1	…	r2k
	…	…	…	…
	rk1	rk2	…	1

где r_jl=[S(x_ij-x_jср)(x_il-x_lср)]/(ns_js_l), j,l=1,2,…,k;

s_j=([S(x_ij - x_jср)²]/n)^0,5, i=1…n;

x_il – значение i-того наблюдения j-того фактора.

Кроме того, находятся оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции порядка k-2 между факторами X₁ и X₂ равен

r_12/3,4,…,k=-R₁₂/(R₁₁R₂₂)^0,5, где R_jl – алгебраическое дополнение элемента r₁₂ матрицы R.

Множественный коэффициент корреляции порядка k-1 фактора X₁ (результативного признака) определяется по формуле

r_1/2,3,…,k= r₁=(|R₁₂|/R₁₁)^0,5, где |R₁₂| – определитель матрицы R.

Значимость парных и частных коэффициентов корреляции проверяется по t-критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

t_набл=(n-l-2)^0,5r/(1-r²)^0,5, где r – оценка коэффициента, l – порядок коэффициента корреляции (число фиксируемых факторов).

Коэффициент корреляции считается значимым (т.е. гипотеза H₀: r=0 отвергается с вероятностью ошибки a), если |t_набл|>t_кр, определяемого по таблицам t-распределения (Приложение 1) для заданного a и n=n-l-2.

Значимость множественного коэффициента корреляции (или его квадрата – коэффициента детерминации) определяется по F-критерию. Наблюдаемое значение, например, для r²_1/2,…k, находится по формуле

F_набл= [r²_1/2,…k/(k-1)]/[(1-r²_1/2,…k)/(n-k)].

Множественный коэффициент корреляции считется значимым, если F_набл>F_кр(a, k-1, n-k), где F_кр определяется по таблице F-распределения (Приложение 1) для заданных  a, n₁=k-1 и n₂=n-k.

Множественный регрессионный анализ – это статистический метод исследования зависимости случайной величины y  от переменных x_j, рассматриваемых как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения x_j. Предполагается, что y имеет нормальный закон распределения с условным мат. ожиданием y=j(x₁,x₂,…,x_k), являющимся функцией от аргументов x_j, и с постоянной, не зависящей от аргументов дисперсией s². Наиболее часто встречаются линейные уравнения регрессии вида y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_jx_j+…+b_kx_k, линейные относительно неизвестных параметров b_j (j=0,1,…,k) и аргументов x_j.

Коэффициент регрессии b_j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак y, если переменную x_j увеличить на единицу ее измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.

В матричной форме регрессионная модель имеет вид

Y=Xb+e, где Y – случайный вектор-столбец размерности [n´1] наблюдаемых значений результативного признака (y₁,y₂,…,y_n); X – матрица размерности [n´ (k+1)] наблюдаемых значений аргументов. Элемент матрицы x_ij рассматривается как неслучайная величина (i=1,2,…,n; j=0,1,2,…,k; x_оi=1); b– вектор-столбец размерности [(k+1)´1] неизвестных коэффициентов